初级微积分示例

$2 \sec^{2} (x) = \frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 1

从右边开始。

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 2

加上分数。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ 。

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ 乘以 $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 的因式。

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - \sin (x) + 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 - \sin (x) + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 3.2

将 $- \sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\frac{2 + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{2}{1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

$\frac{2}{1 - \sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6

将 $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 $2 \sec^{2} (x)$ 。

$2 \sec^{2} (x)$

解题步骤 7

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$2 \sec^{2} (x) = \frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)}$ 是一个恒等式

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