初级微积分示例

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

要将 $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{1}{\sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.3.3

重新排序 $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ 的因式。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.4

乘以 $- - \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + 1 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.5

将 $\sin^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.6

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.7

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.8

从 $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.9

将 $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \sin^{2} (x))$ 。

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.10

使用勾股恒等式。

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.11

从 $- \cos^{2} (x) + \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 2.5.11.1

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.11.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.5.11.3

从 $\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 1)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.6

约去 $- \cos (x) + 1$ 和 $1 - \cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

重新排序项。

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 2.6.3

重写表达式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 重写为 $\cot (x)$ 。

$\cot (x)$

解题步骤 4

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$ 是一个恒等式

初级微积分 示例

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