初级微积分示例

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

解题步骤 1

从右边开始。

$- \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

将 $\csc^{4} (A)$ 重写为 ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ 。

$- \cot^{4} (A) + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

解题步骤 2.2

将 $\cot^{4} (A)$ 重写为 ${(\cot^{2} (A))}^{2}$ 。

$- {(\cot^{2} (A))}^{2} + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

解题步骤 2.3

将 $- {(\cot^{2} (A))}^{2}$ 和 ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ 重新排序。

${(\csc^{2} (A))}^{2} - {(\cot^{2} (A))}^{2}$

解题步骤 2.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \csc^{2} (A)$ 和 $b = \cot^{2} (A)$ 。

$(\csc^{2} (A) + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

解题步骤 2.5

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1

将 $\csc (A)$ 重写为正弦和余弦形式。

$({(\frac{1}{\sin (A)})}^{2} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

解题步骤 2.5.2

对 $\frac{1}{\sin (A)}$ 运用乘积法则。

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

解题步骤 2.5.3

一的任意次幂都为一。

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

解题步骤 2.5.4

将 $\cot (A)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

解题步骤 2.5.5

对 $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ 运用乘积法则。

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

解题步骤 2.6

使用勾股恒等式。

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) \cdot 1$

解题步骤 2.7

将 $\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

解题步骤 4

现在考虑方程的左边。

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A)$

解题步骤 5

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 5.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (A)$ 。

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + \csc^{2} (A)$

解题步骤 5.2

对 $\csc (A)$ 使用倒数恒等式。

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

解题步骤 5.3

对 $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

解题步骤 5.4

对 $\frac{1}{\sin (A)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)}$

解题步骤 6

一的任意次幂都为一。

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1}{\sin^{2} (A)}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos^{2} (A) + 1}{\sin^{2} (A)}$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

解题步骤 9

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$ 是一个恒等式

初级微积分 示例

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