初级微积分示例

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

解题步骤 2

将 $\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$ 乘以 $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ 。

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$

解题步骤 3

合并。

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 4.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 4.3

乘以 $\sec (x) (- \sec (x))$ 。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ 。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

解题步骤 5.2

化简并合并同类项。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

解题步骤 6

使用勾股恒等式。

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解题步骤 6.1

将 $1$ 和 $- \sec^{2} (x)$ 重新排序。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

解题步骤 6.2

从 $- \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

解题步骤 6.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 6.4

从 $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

解题步骤 6.5

使用勾股恒等式。

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

解题步骤 7

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 7.1

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

解题步骤 7.2

对 $\sec (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- \tan^{2} (x)}$

解题步骤 7.3

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 7.4

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

解题步骤 7.5

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.2

一的任意次幂都为一。

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.3

要将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${\cos (x)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 8.4.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 。

$(\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.6

约去 ${\cos (x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.1

将 $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.6.2

从 $- {\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{2}$ 。

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.6.3

约去公因数。

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.6.4

重写表达式。

$(\cos (x) - 1) \frac{- 1}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 8.7

将负号移到分数的前面。

$(\cos (x) - 1) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.8

运用分配律。

$\cos (x) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}) - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.9

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 。

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

解题步骤 8.10

乘以 $- 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$ 。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{- \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 10

重新排序项。

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 11

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 是一个恒等式

初级微积分 示例

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