初级微积分示例

$\sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1

$\sin (\frac{7 π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{7 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.2

使用正弦半角公式。

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.3

因为正弦在第二象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.5

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.7

乘以 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.7.1

将 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.8

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.9

化简分母。

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解题步骤 1.4.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 2

$\sin (\frac{π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.2

应用角度恒等式的差。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.6

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 2.7

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 2.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 2.7.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 2.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

解题步骤 2.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3

乘以 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 4

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{6} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} (- \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 5

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} (- \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 6

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

小数形式：

$0.25$

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