初级微积分示例

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

解题步骤 1

从左边开始。

$\sin (x + y) \cos (x - y)$

解题步骤 2

使用两角和公式。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) \cos (x - y)$

解题步骤 3

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y))$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

因为 $\cos (- y)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- y)$ 重写成 $\cos (y)$ 。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y))$

解题步骤 4.1.2

因为 $\sin (- y)$ 是一个奇函数，所以将 $\sin (- y)$ 重写成 $- \sin (y)$ 。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y)))$

解题步骤 4.1.3

乘以 $- \sin (x) (- \sin (y))$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1

乘以 $\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.1.2

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) {\cos (y)}^{1 + 1} \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.2

乘以 $\sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.3

乘以 $\cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y))$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.3.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

解题步骤 4.3.4

乘以 $\cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

对 $\sin (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin (y)) \sin (x)$

解题步骤 4.3.4.2

对 $\sin (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)) \sin (x)$

解题步骤 4.3.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) {\sin (y)}^{1 + 1} \sin (x)$

解题步骤 4.3.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5

因数。

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解题步骤 5.1

从 $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ 中分解出因数 $\sin (x) \cos (y)$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x) \cos (y)$ 。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.1.2

从 $\sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ 中分解出因数 $\sin (x) \cos (y)$ 。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.1.3

从 $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ 中分解出因数 $\sin (x) \cos (y)$ 。

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.2

从 $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ 中分解出因数 $\cos (y)$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))$ 中分解出因数 $\cos (y)$ 。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.2.2

从 $\cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ 中分解出因数 $\cos (y)$ 。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.2.3

从 $\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y))$ 中分解出因数 $\cos (y)$ 。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.4

去掉圆括号。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.5

乘以 $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ 。

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解题步骤 5.5.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.5.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.6

从 $\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $\sin (x) \cos (y) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.6.2

从 $\sin^{2} (x) \sin (y)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 5.6.3

从 $\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 6

将勾股恒等式反过来使用。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 7

运用分配律。

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 8

乘以 $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ 。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 9

运用分配律。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + 1 \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 10

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 11

运用分配律。

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x)) + \cos (y) (\sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

乘以 $\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x))$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

${\cos (y)}^{1} \cos (y) (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 12.1.2

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

${\cos (y)}^{1} {\cos (y)}^{1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 12.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (y)}^{1 + 1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 12.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${\cos (y)}^{2} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 12.2

将 $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ 和 $\cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y))$ 相加。

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解题步骤 12.2.1

将 $\cos (y)$ 和 $- 1$ 重新排序。

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) - 1 \cdot \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 12.2.2

从 $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ 中减去 $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ 。

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + 0 + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 12.3

将 ${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\cos^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 13

将勾股恒等式反过来使用。

$(1 - \sin^{2} (y)) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 14

化简每一项。

$\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

将 $- {\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ 和 ${\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y) + 0$

解题步骤 15.2

将 $\cos (x) \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$

解题步骤 16

将 $\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$ 重写为 $\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ 。

$\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

解题步骤 17

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ 是一个恒等式

初级微积分 示例

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