初级微积分示例

$6 \sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1

$\sin (\frac{π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$6 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.2

应用角度恒等式的差。

$6 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.6

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.7

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$6 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$6 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.7.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.2

在公分母上合并分子。

$6 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 2.3

约去公因数。

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 2.4

重写表达式。

$3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 3

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cos (\frac{π}{12})$

解题步骤 4

$\cos (\frac{π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

解题步骤 4.2

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 4.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 4.5

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 4.6

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.7

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 4.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.7.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 4.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 4.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

解题步骤 4.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 5

乘以 $\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{(3 \sqrt{6} + 3 (- \sqrt{2})) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 6.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 6.3

使用 FOIL 方法展开 $(3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 6.3.1

运用分配律。

$\frac{3 \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 6.3.2

运用分配律。

$\frac{3 \sqrt{6} \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 6.3.3

运用分配律。

$\frac{3 \sqrt{6} \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1.1

乘以 $3 \sqrt{6} \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 6.4.1.1.1

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.1.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 {\sqrt{6}}^{2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.2

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 6.4.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.2.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.2.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \cdot 6^{1} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.2.5

计算指数。

$\frac{3 \cdot 6 + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.3

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{18 + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.4

乘以 $3 \sqrt{6} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 6.4.1.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{18 + 3 \sqrt{2 \cdot 6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.4.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{18 + 3 \sqrt{12} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.5

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.4.1.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{18 + 3 \sqrt{4 (3)} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{18 + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.6

从根式下提出各项。

$\frac{18 + 3 (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.8

乘以 $- 3 \sqrt{2} \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 6.4.1.8.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{6 \cdot 2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.8.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{12} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.9

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.4.1.9.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{4 (3)} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.9.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.10

从根式下提出各项。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.11

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.12

乘以 $- 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 6.4.1.12.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 6.4.1.12.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

解题步骤 6.4.1.12.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

解题步骤 6.4.1.12.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.13

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.4.1.13.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.13.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

解题步骤 6.4.1.13.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

解题步骤 6.4.1.13.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.13.4.1

约去公因数。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

解题步骤 6.4.1.13.4.2

重写表达式。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{1}}{8}$

解题步骤 6.4.1.13.5

计算指数。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2}{8}$

解题步骤 6.4.1.14

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 6}{8}$

解题步骤 6.4.2

从 $18$ 中减去 $6$ 。

$\frac{12 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 6.4.3

从 $6 \sqrt{3}$ 中减去 $6 \sqrt{3}$ 。

$\frac{12 + 0}{8}$

解题步骤 6.4.4

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$\frac{12}{8}$

解题步骤 7

约去 $12$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (3)}{8}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

解题步骤 7.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{2}$

小数形式：

$1.5$

带分数形式：

$1 \frac{1}{2}$

初级微积分 示例

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