初级微积分示例

$f (x) = 4 x^{2} + 20 x - 24$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对

$4 x^{2} + 20 x - 24$ 进行配方。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

使用

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的值。

$a = 4$

$b = 20$

$c = - 24$

解题步骤 1.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.3

使用公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

$d$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.1

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{20}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.2.1

约去

$20$ 和

$2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

从

$20$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.1

从

$2 \cdot 4$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (4)}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{10}{4}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

约去

$10$ 和

$4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.2.2.1

从

$10$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 (5)}{4}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2.1

从

$4$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{5}{2}$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 24 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

对

$20$ 进行

$2$ 次方运算。

$e = - 24 - \frac{400}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

将

$4$ 乘以

$4$ 。

$e = - 24 - \frac{400}{16}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3

用

$400$ 除以

$16$ 。

$e = - 24 - 1 \cdot 25$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$25$ 。

$e = - 24 - 25$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

从

$- 24$ 中减去

$25$ 。

$e = - 49$

解题步骤 1.1.1.5

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

$4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$ 。

$4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

解题步骤 1.1.2

将

$y$ 设为等于右边新的值。

$y = 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

解题步骤 1.2

使用顶点式

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求

$a$ 、

$h$ 和

$k$ 的值。

$a = 4$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - 49$

解题步骤 1.3

因为

$a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 1.4

求顶点

$(h, k)$ 。

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

解题步骤 1.5

求

$p$ ，即从顶点到焦点的距离。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将

$a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.3

将

$4$ 乘以

$4$ 。

$\frac{1}{16}$

解题步骤 1.6

求焦点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让

$p$ 加上 y 轴坐标

$k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将

$h$ 、

$p$ 和

$k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = - \frac{5}{2}$

解题步骤 1.8

求准线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标

$k$ 减去

$p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将

$p$ 和

$k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{785}{16}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点：

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

焦点：

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

对称轴：

$x = - \frac{5}{2}$

准线：

$y = - \frac{785}{16}$

方向：开口向上

顶点：

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

焦点：

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

对称轴：

$x = - \frac{5}{2}$

准线：

$y = - \frac{785}{16}$

解题步骤 2

选取几个

$x$ 的值，将其代入方程以求对应的

$y$ 值，所选取的

$x$ 值应在顶点附近。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用表达式中的

$- 3$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 3) = 4 {(- 3)}^{2} + 20 (- 3) - 24$

解题步骤 2.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

对

$- 3$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 3) = 4 \cdot 9 + 20 (- 3) - 24$

解题步骤 2.2.1.2

将

$4$ 乘以

$9$ 。

$f (- 3) = 36 + 20 (- 3) - 24$

解题步骤 2.2.1.3

将

$20$ 乘以

$- 3$ 。

$f (- 3) = 36 - 60 - 24$

解题步骤 2.2.2

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

从

$36$ 中减去

$60$ 。

$f (- 3) = - 24 - 24$

解题步骤 2.2.2.2

从

$- 24$ 中减去

$24$ 。

$f (- 3) = - 48$

解题步骤 2.2.3

最终答案为

$- 48$ 。

$- 48$

解题步骤 2.3

$y$ 在

$x = - 3$ 处的值为

$- 48$ 。

$y = - 48$

解题步骤 2.4

使用表达式中的

$- 4$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 4) = 4 {(- 4)}^{2} + 20 (- 4) - 24$

解题步骤 2.5

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1.1

对

$- 4$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 4) = 4 \cdot 16 + 20 (- 4) - 24$

解题步骤 2.5.1.2

将

$4$ 乘以

$16$ 。

$f (- 4) = 64 + 20 (- 4) - 24$

解题步骤 2.5.1.3

将

$20$ 乘以

$- 4$ 。

$f (- 4) = 64 - 80 - 24$

解题步骤 2.5.2

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

从

$64$ 中减去

$80$ 。

$f (- 4) = - 16 - 24$

解题步骤 2.5.2.2

从

$- 16$ 中减去

$24$ 。

$f (- 4) = - 40$

解题步骤 2.5.3

最终答案为

$- 40$ 。

$- 40$

解题步骤 2.6

$y$ 在

$x = - 4$ 处的值为

$- 40$ 。

$y = - 40$

解题步骤 2.7

使用表达式中的

$- 1$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) - 24$

解题步骤 2.8

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1.1

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 1) = 4 \cdot 1 + 20 (- 1) - 24$

解题步骤 2.8.1.2

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$f (- 1) = 4 + 20 (- 1) - 24$

解题步骤 2.8.1.3

将

$20$ 乘以

$- 1$ 。

$f (- 1) = 4 - 20 - 24$

解题步骤 2.8.2

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.2.1

从

$4$ 中减去

$20$ 。

$f (- 1) = - 16 - 24$

解题步骤 2.8.2.2

从

$- 16$ 中减去

$24$ 。

$f (- 1) = - 40$

解题步骤 2.8.3

最终答案为

$- 40$ 。

$- 40$

解题步骤 2.9

$y$ 在

$x = - 1$ 处的值为

$- 40$ 。

$y = - 40$

解题步骤 2.10

使用表达式中的

$0$ 替换变量

$x$ 。

$f (0) = 4 {(0)}^{2} + 20 (0) - 24$

解题步骤 2.11

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f (0) = 4 \cdot 0 + 20 (0) - 24$

解题步骤 2.11.1.2

将

$4$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = 0 + 20 (0) - 24$

解题步骤 2.11.1.3

将

$20$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 24$

解题步骤 2.11.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.2.1

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$f (0) = 0 - 24$

解题步骤 2.11.2.2

从

$0$ 中减去

$24$ 。

$f (0) = - 24$

解题步骤 2.11.3

最终答案为

$- 24$ 。

$- 24$

解题步骤 2.12

$y$ 在

$x = 0$ 处的值为

$- 24$ 。

$y = - 24$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点：

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

焦点：

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

对称轴：

$x = - \frac{5}{2}$

准线：

$y = - \frac{785}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

解题步骤 4

初级微积分 示例

初级微积分示例