初级微积分示例

$\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$

解题步骤 1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (\frac{x}{2})$ 和 $b = \sin (\frac{x}{2})$ 。

$(\cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.2

将 $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.3

将 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.6.4.1

约去公因数。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.4.6.4.2

重写表达式。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.4.6.5

计算指数。

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.6

使用正弦半角公式。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.7

将 $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.8

将 $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.9

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.9.1

将 $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.9.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.9.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.9.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.1.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.9.6.4.1

约去公因数。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.9.6.4.2

重写表达式。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.9.6.5

计算指数。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.1.10

使用根数乘积法则进行合并。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.2

将 $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.6.4.1

约去公因数。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.4.6.4.2

重写表达式。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.4.6.5

计算指数。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.5

使用根数乘积法则进行合并。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - \sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.6

使用正弦半角公式。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}))$

解题步骤 2.2.7

将 $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}))$

解题步骤 2.2.8

将 $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

解题步骤 2.2.9

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.9.1

将 $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}))$

解题步骤 2.2.9.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.2.9.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.2.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 2.2.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}))$

解题步骤 2.2.9.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.2.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

解题步骤 2.2.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

解题步骤 2.2.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

解题步骤 2.2.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.9.6.4.1

约去公因数。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

解题步骤 2.2.9.6.4.2

重写表达式。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}))$

解题步骤 2.2.9.6.5

计算指数。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}))$

解题步骤 2.2.10

使用根数乘积法则进行合并。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 3.3

运用分配律。

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

合并 $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.1

按照 $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ 和 $(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ 重新排列因数。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) - (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.1.2

将 $- (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ 和 $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ 相加。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + 0 + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.1.3

将 $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ 和 $0$ 相加。

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

乘以 $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.1.2

对 $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1 + 1} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.2

Remove the plus-minus sign on $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ because it is raised to an even power.

${(\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.3

对 $\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.1

将 ${\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ 重写为 $(1 + \cos (x)) \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.2.4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}$ 重写成 ${((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{({((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.4.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.4.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1.4.1

约去公因数。

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.4.1.4.2

重写表达式。

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.4.1.5

化简。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.4.2

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.4.4

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$\frac{2 + 2 \cdot \cos (x)}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.4.5

从 $2 + 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.2.4.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.4.5.2

从 $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{4} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.6

约去公因数。

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解题步骤 4.2.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.6.2

约去公因数。

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.6.3

重写表达式。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

解题步骤 4.2.8

乘以 $- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ 。

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解题步骤 4.2.8.1

对 $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - ({(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

解题步骤 4.2.8.2

对 $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - ({(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1})$

解题步骤 4.2.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1 + 1}$

解题步骤 4.2.8.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.9

Remove the plus-minus sign on $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ because it is raised to an even power.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

解题步骤 4.2.10

对 $\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11

化简分子。

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解题步骤 4.2.11.1

将 ${\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ 重写为 $(1 - \cos (x)) \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.2.11.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}$ 重写成 ${((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{({((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.11.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11.1.5

化简。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{(1 - \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11.2

运用分配律。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{1 \cdot 2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11.5

从 $2 - 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.2.11.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11.5.2

从 $- 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.11.5.3

从 $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2^{2}}$

解题步骤 4.2.12

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{4}$

解题步骤 4.2.13

约去公因数。

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解题步骤 4.2.13.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.13.2

约去公因数。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.13.3

重写表达式。

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{1 - \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \cos (x) - (1 - \cos (x))}{2}$

解题步骤 4.4

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$\frac{1 + \cos (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \cos (x) - 1 - - \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.4.3

乘以 $- - \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + \cos (x) - 1 + 1 \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.4.3.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \cos (x) - 1 + \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.5

化简项。

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解题步骤 4.5.1

合并 $1 + \cos (x) - 1 + \cos (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 4.5.1.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + \cos (x) + \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.5.1.2

将 $0$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.5.2

将 $\cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.3.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

解题步骤 4.5.3.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x)$

初级微积分 示例

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