初级微积分示例

$\cos (\frac{x}{2}) + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.2

将 $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.3

将 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.6.4.1

约去公因数。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.4.6.4.2

重写表达式。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.4.6.5

计算指数。

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1.6

从 $\frac{3 x}{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + \cos (3 \frac{x}{2})$

解题步骤 1.7

使用三倍角公式把 $\cos (3 x)$ 转换为 $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 \cos^{3} (\frac{x}{2}) - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.2

将 $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.3

将 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.8.4.1

将 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.8.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.4.6.4.1

约去公因数。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.4.6.4.2

重写表达式。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.4.6.5

计算指数。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

解题步骤 1.8.6

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}})$

解题步骤 1.8.7

将 $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 1.8.8

将 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 1.8.9

合并和化简分母。

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解题步骤 1.8.9.1

将 $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

解题步骤 1.8.9.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

解题步骤 1.8.9.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

解题步骤 1.8.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

解题步骤 1.8.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

解题步骤 1.8.9.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.8.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 1.8.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 1.8.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 1.8.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.9.6.4.1

约去公因数。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 1.8.9.6.4.2

重写表达式。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})$

解题步骤 1.8.9.6.5

计算指数。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1.8.10

使用根数乘积法则进行合并。

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

解题步骤 2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1

从 $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ 中减去 $3 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ 。

$4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 2 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

解题步骤 2.2

将 $4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 2 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ 中的因式重新排序。

$4 {(\pm \frac{\sqrt{2 (1 + \cos (x))}}{2})}^{3} - 2 (\pm \frac{\sqrt{2 (1 + \cos (x))}}{2})$

初级微积分 示例

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