初级微积分示例

$\frac{{(x + h)}^{4} - x^{4}}{h}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 ${(x + h)}^{4}$ 重写为 ${({(x + h)}^{2})}^{2}$ 。

$\frac{{({(x + h)}^{2})}^{2} - x^{4}}{h}$

解题步骤 1.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{{({(x + h)}^{2})}^{2} - {(x^{2})}^{2}}{h}$

解题步骤 1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = {(x + h)}^{2}$ 和 $b = x^{2}$ 。

$\frac{({(x + h)}^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$\frac{((x + h) (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

解题步骤 1.4.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

运用分配律。

$\frac{(x (x + h) + h (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

解题步骤 1.4.2.2

运用分配律。

$\frac{(x \cdot x + x h + h (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

解题步骤 1.4.2.3

运用分配律。

$\frac{(x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

解题步骤 1.4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(x^{2} + x h + h x + h \cdot h + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

解题步骤 1.4.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$\frac{(x^{2} + x h + h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

解题步骤 1.4.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 1.4.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$\frac{(x^{2} + h x + h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

解题步骤 1.4.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

解题步骤 1.4.4

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

解题步骤 1.4.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x + h$ 和 $b = x$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((x + h + x) (x + h - x))}{h}$

解题步骤 1.4.6

化简。

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解题步骤 1.4.6.1

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) (x + h - x))}{h}$

解题步骤 1.4.6.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) (h + 0))}{h}$

解题步骤 1.4.6.3

将 $h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) h)}{h}$

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x) h}{h}$

解题步骤 2

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 2.1

约去公因数。

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x) h}{h}$

解题步骤 2.2

用 $(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$ 除以 $1$ 。

$(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$

解题步骤 3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$ 。

$2 x^{2} h + 2 x^{2} (2 x) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{2} x + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

移动 $x$ 。

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{3} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.4

通过指数相加将 $h$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 4.4.1

移动 $h$ 。

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 (h \cdot h) x + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.4.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

移动 $x$ 。

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h (x \cdot x) \cdot 2 + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x^{2} \cdot 2 + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.7

通过指数相加将 $h^{2}$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 4.7.1

将 $h^{2}$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 4.7.1.1

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2} h^{1} + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2 + 1} + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.7.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{3} + h^{2} (2 x)$

解题步骤 4.8

使用乘法的交换性质重写。

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

解题步骤 5

将 $2 x^{2} h$ 和 $4 h x^{2}$ 相加。

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解题步骤 5.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x^{2} + 4 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

解题步骤 5.2

将 $2 h x^{2}$ 和 $4 h x^{2}$ 相加。

$4 x^{3} + 2 h^{2} x + 6 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

解题步骤 6

将 $2 h^{2} x$ 和 $2 h^{2} x$ 相加。

$4 x^{3} + 6 h x^{2} + h^{3} + 4 h^{2} x$

解题步骤 7

重新排序。

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解题步骤 7.1

移动 $4 x^{3}$ 。

$6 h x^{2} + h^{3} + 4 h^{2} x + 4 x^{3}$

解题步骤 7.2

移动 $6 h x^{2}$ 。

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

初级微积分 示例

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