初级微积分示例

${(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot i)}^{3}$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $i$ 。

${(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 2

使用二项式定理。

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.1

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{27}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.3

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.1.2.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.4

从根式下提出各项。

$\frac{3 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.4

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{1}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5.5

计算指数。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 (\frac{3}{4}) \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.7

乘以 $3 (\frac{3}{4})$ 。

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解题步骤 3.1.7.1

组合 $3$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{3 \cdot 3}{4} \cdot \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.7.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9}{4} \cdot \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.8

乘以 $\frac{9}{4} \cdot \frac{i}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.8.1

将 $\frac{9}{4}$ 乘以 $\frac{i}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{4 \cdot 2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.8.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.9

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.10

对 $\frac{i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.11

合并。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.12

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.12.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.12.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2^{1 + 2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.12.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13

化简分子。

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解题步骤 3.1.13.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3}}{2^{3}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.14

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.15

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.16

对 $\frac{i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{i^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17

化简分子。

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解题步骤 3.1.17.1

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{i^{2} \cdot i}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 1 \cdot i}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17.3

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{- i}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.18

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{- i}{8}$

解题步骤 3.1.19

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - \frac{i}{8}$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{3 \sqrt{3} + 9 i - 3 \sqrt{3} - i}{8}$

解题步骤 3.2.2

从 $3 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$\frac{0 + 9 i - i}{8}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $9 i$ 相加。

$\frac{9 i - i}{8}$

解题步骤 3.2.4

从 $9 i$ 中减去 $i$ 。

$\frac{8 i}{8}$

解题步骤 3.2.5

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

约去公因数。

$\frac{8 i}{8}$

解题步骤 3.2.5.2

用 $i$ 除以 $1$ 。

$i$

初级微积分 示例

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