初级微积分示例

$\frac{x^{5} (- 3) {(x^{2} + 1)}^{- 4} (2 x) - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot 5 x^{4}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{5} \cdot - 3 {(x^{2} + 1)}^{- 4} \cdot 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x^{5} \cdot - 3 {(x^{2} + 1)}^{- 4} \cdot 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 5} \cdot - 3 {(x^{2} + 1)}^{- 4} \cdot 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{x^{6} \cdot - 3 {(x^{2} + 1)}^{- 4} \cdot 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.2

将 $- 3$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$\frac{- 3 \cdot x^{6} {(x^{2} + 1)}^{- 4} \cdot 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{- 3 x^{6} \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \cdot 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.4

乘以 $- 3 x^{6} \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ 。

$\frac{x^{6} \frac{- 3}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \cdot 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

组合 $x^{6}$ 和 $\frac{- 3}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ 。

$\frac{\frac{x^{6} \cdot - 3}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \cdot 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.5

将 $- 3$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$\frac{\frac{- 3 \cdot x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \cdot 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{3 \cdot x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \cdot 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.7

乘以 $- \frac{3 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \frac{3 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.7.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{3 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ 。

$\frac{\frac{- 2 (3 x^{6})}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.7.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\frac{- 6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - {(x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - 1 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{- 3} x^{4}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.10

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - 5 {(x^{2} + 1)}^{- 3} x^{4}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - 5 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} x^{4}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.12

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{- 5}{{(x^{2} + 1)}^{3}} x^{4}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.13

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - \frac{5}{{(x^{2} + 1)}^{3}} x^{4}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.14

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{5}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - \frac{x^{4} \cdot 5}{{(x^{2} + 1)}^{3}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.15

将 $5$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - \frac{5 \cdot x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.16

要将 $- \frac{5 x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - \frac{5 x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.17

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(x^{2} + 1)}^{4}$ 的形式。

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解题步骤 1.17.1

将 $\frac{5 x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 乘以 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - \frac{5 x^{4} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3} (x^{2} + 1)}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.17.2

通过指数相加将 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 乘以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.17.2.1

将 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 乘以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.17.2.1.1

对 $x^{2} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - \frac{5 x^{4} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{1}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.17.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - \frac{5 x^{4} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3 + 1}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.17.2.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \frac{6 x^{6}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} - \frac{5 x^{4} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.18

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 6 x^{6} - 5 x^{4} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.19

以因式分解的形式重写 $\frac{- 6 x^{6} - 5 x^{4} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ 。

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解题步骤 1.19.1

从 $- 6 x^{6} - 5 x^{4} (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.19.1.1

从 $- 6 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{\frac{x^{4} (- 6 x^{2}) - 5 x^{4} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.19.1.2

从 $- 5 x^{4} (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{\frac{x^{4} (- 6 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.19.1.3

从 $x^{4} (- 6 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{\frac{x^{4} (- 6 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.19.2

运用分配律。

$\frac{\frac{x^{4} (- 6 x^{2} - 5 x^{2} - 5 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.19.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x^{4} (- 6 x^{2} - 5 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 1.19.4

从 $- 6 x^{2}$ 中减去 $5 x^{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{4} (- 11 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{x^{4} (- 11 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}}{x^{5 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{4} (- 11 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}}{x^{10}}$

解题步骤 3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{x^{4} (- 11 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \cdot \frac{1}{x^{10}}$

解题步骤 4

合并。

$\frac{x^{4} (- 11 x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{4} x^{10}}$

解题步骤 5

约去 $x^{4}$ 和 $x^{10}$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

从 $x^{4} (- 11 x^{2} - 5) \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} ((- 11 x^{2} - 5) \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4} x^{10}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{4} x^{10}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} ((- 11 x^{2} - 5) \cdot 1)}{x^{4} ({(x^{2} + 1)}^{4} x^{6})}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{4} ((- 11 x^{2} - 5) \cdot 1)}{x^{4} ({(x^{2} + 1)}^{4} x^{6})}$

解题步骤 5.2.3

重写表达式。

$\frac{(- 11 x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{4} x^{6}}$

解题步骤 6

将 $- 11 x^{2} - 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 11 x^{2} - 5}{{(x^{2} + 1)}^{4} x^{6}}$

解题步骤 7

从 $- 11 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (11 x^{2}) - 5}{{(x^{2} + 1)}^{4} x^{6}}$

解题步骤 8

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{- (11 x^{2}) - 1 (5)}{{(x^{2} + 1)}^{4} x^{6}}$

解题步骤 9

从 $- (11 x^{2}) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (11 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{4} x^{6}}$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $- (11 x^{2} + 5)$ 重写为 $- 1 (11 x^{2} + 5)$ 。

$\frac{- 1 (11 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{4} x^{6}}$

解题步骤 10.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{11 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 1)}^{4} x^{6}}$

解题步骤 10.3

将 $- \frac{11 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 1)}^{4} x^{6}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{11 x^{2} + 5}{x^{6} {(x^{2} + 1)}^{4}}$

初级微积分 示例

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