初级微积分示例

$\cos (\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}}))$

解题步骤 1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}}))$ 为 $\sqrt{1 - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$ 。

$\sqrt{1 - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$\sqrt{(1 + \sqrt{1 - x^{2}}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - x^{2}}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

解题步骤 3.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{1^{2} - x^{2}})}$

解题步骤 3.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

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