初级微积分示例

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + x + 5}{x^{2} + 3 x + 2}$

解题步骤 1

使用多项式长除法进行相除。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x$ 中的所有符号

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $- 7 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
							-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$14$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 7 x^{2} - 21 x - 14$ 中的所有符号

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

$18 x$

$19$

解题步骤 1.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$2 x - 7 + \frac{18 x + 19}{x^{2} + 3 x + 2}$

解题步骤 2

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $3$ 。

$1, 2$

解题步骤 2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{18 x + 19}{(x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 2.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1}$

解题步骤 2.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

解题步骤 2.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 1) (x + 2)$ 。

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.5

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.5.2

重写表达式。

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.6

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.6.2

用 $18 x + 19$ 除以 $1$ 。

$18 x + 19 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1.1

约去公因数。

$18 x + 19 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7.1.2

用 $(A) (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$18 x + 19 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7.2

运用分配律。

$18 x + 19 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7.3

将 $2$ 移到 $A$ 的左侧。

$18 x + 19 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7.4

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.4.1

约去公因数。

$18 x + 19 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 2.7.4.2

用 $(B) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$18 x + 19 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

解题步骤 2.7.5

运用分配律。

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

解题步骤 2.7.6

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B$

解题步骤 2.8

移动 $2 A$ 。

$18 x + 19 = A x + B x + 2 A + B$

解题步骤 3

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 3.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$18 = A + B$

解题步骤 3.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$19 = 2 A + B$

解题步骤 3.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

解题步骤 4

求解方程组。

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解题步骤 4.1

在 $18 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 4.1.1

将方程重写为 $A + B = 18$ 。

$A + B = 18$

$19 = 2 A + B$

解题步骤 4.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

解题步骤 4.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $18 - B$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用 $18 - B$ 替换 $19 = 2 A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$19 = 2 (18 - B) + B$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 $2 (18 - B) + B$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

运用分配律。

$19 = 2 \cdot 18 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$19 = 36 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $- 2 B$ 和 $B$ 相加。

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.3

在 $19 = 36 - B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $36 - B = 19$ 。

$36 - B = 19$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.2.1

从等式两边同时减去 $36$ 。

$- B = 19 - 36$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.3.2.2

从 $19$ 中减去 $36$ 。

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.3.3

将 $- B = - 17$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- B = - 17$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{B}{1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.3.3.2.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.3.1

用 $- 17$ 除以 $- 1$ 。

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

解题步骤 4.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $17$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用 $17$ 替换 $A = 18 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 18 - (17)$

$B = 17$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简 $18 - (17)$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $17$ 。

$A = 18 - 17$

$B = 17$

解题步骤 4.4.2.1.2

从 $18$ 中减去 $17$ 。

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

解题步骤 4.5

列出所有解。

$A = 1, B = 17$

解题步骤 5

将 $2 x - 7 + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$2 x - 7 + \frac{1}{x + 1} + \frac{17}{x + 2}$

初级微积分 示例

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