初级微积分示例

$\frac{4 x^{3} + 5^{2} + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 x^{3} + 25 + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

解题步骤 1.1.2

从 $25$ 中减去 $1$ 。

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{x^{2} x + 1}$

解题步骤 1.1.3

使用有理根检验法因式分解 $4 x^{3} + 7 x + 24$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 1.1.3.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 24, \pm 6, \pm 12, \pm 2, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 8, \pm 4$

解题步骤 1.1.3.3

代入 $- 1.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1.5$ 代入多项式。

$4 {(- 1.5)}^{3} + 7 \cdot - 1.5 + 24$

解题步骤 1.1.3.3.2

对 $- 1.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot - 3.375 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

解题步骤 1.1.3.3.3

将 $4$ 乘以 $- 3.375$ 。

$- 13.5 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

解题步骤 1.1.3.3.4

将 $7$ 乘以 $- 1.5$ 。

$- 13.5 - 10.5 + 24$

解题步骤 1.1.3.3.5

从 $- 13.5$ 中减去 $10.5$ 。

$- 24 + 24$

解题步骤 1.1.3.3.6

将 $- 24$ 和 $24$ 相加。

$0$

解题步骤 1.1.3.4

因为 $- 1.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{2 x + 3}$

解题步骤 1.1.3.5

用 $4 x^{3} + 7 x + 24$ 除以 $2 x + 3$ 。

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解题步骤 1.1.3.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$3$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$24$

解题步骤 1.1.3.5.2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$

解题步骤 1.1.3.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			+	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

解题步骤 1.1.3.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} + 6 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

解题步骤 1.1.3.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

解题步骤 1.1.3.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

解题步骤 1.1.3.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 6 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

解题步骤 1.1.3.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$9 x$

解题步骤 1.1.3.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x^{2} - 9 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$

解题步骤 1.1.3.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$

解题步骤 1.1.3.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

解题步骤 1.1.3.5.12

将被除数中的最高阶项 $16 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

解题步骤 1.1.3.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							+	$16 x$	+	$24$

解题步骤 1.1.3.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $16 x + 24$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$

解题步骤 1.1.3.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$
										$0$

解题步骤 1.1.3.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} - 3 x + 8$

解题步骤 1.1.3.6

将 $4 x^{3} + 7 x + 24$ 书写为因数的集合。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x + 1}$

解题步骤 1.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x^{1} + 1}$

解题步骤 1.1.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2 + 1} + 1}$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1^{3}}$

解题步骤 1.1.6

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 1.1.7

化简。

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解题步骤 1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}$

解题步骤 1.1.7.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.5.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.5.1.2

重写表达式。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.5.2

约去 $x^{2} - x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

约去公因数。

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.5.2.2

用 $(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ 除以 $1$ 。

$(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ 。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7

化简项。

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解题步骤 1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot (2 x \cdot x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.7.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot (2 x^{2 + 1}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \cdot (2 x^{3}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x \cdot x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.1.5.1

移动 $x$ 。

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x^{2}) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.6

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.7

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.8

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.9

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.1.10

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.7.2.1

合并 $4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24$ 中相反的项。

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解题步骤 1.7.2.1.1

将 $- 6 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$4 x^{3} + 16 x + 0 - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.2.1.2

将 $4 x^{3} + 16 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 16 x - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.7.2.2

从 $16 x$ 中减去 $9 x$ 。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.8

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1.1

约去公因数。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{A (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.8.1.2

用 $(A) (x^{2} - x + 1)$ 除以 $1$ 。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = (A) (x^{2} - x + 1) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.8.2

运用分配律。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + A (- x) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.8.3

化简。

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解题步骤 1.8.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.8.3.2

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.8.4

约去 $x^{2} - x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.4.1

约去公因数。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1.8.4.2

用 $(B x + C) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + (B x + C) (x + 1)$

解题步骤 1.8.5

使用 FOIL 方法展开 $(B x + C) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.8.5.1

运用分配律。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

解题步骤 1.8.5.2

运用分配律。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

解题步骤 1.8.5.3

运用分配律。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

解题步骤 1.8.6

化简每一项。

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解题步骤 1.8.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.8.6.1.1

移动 $x$ 。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

解题步骤 1.8.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

解题步骤 1.8.6.2

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

解题步骤 1.8.6.3

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C$

解题步骤 1.9

化简表达式。

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解题步骤 1.9.1

移动 $A$ 。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

解题步骤 1.9.2

将 $B$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

解题步骤 1.9.3

将 $B$ 和 $x$ 重新排序。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

解题步骤 1.9.4

移动 $A$ 。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + B x^{2} + B x + C x + A + C$

解题步骤 1.9.5

移动 $- x A$ 。

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + B x^{2} - x A + B x + C x + A + C$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$7 = - 1 A + B + C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$24 = A + C$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $0 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + B = 0$ 。

$A + B = 0$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- B$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- B$ 替换 $7 = - 1 A + B + C$ 中所有出现的 $A$ .

$7 = - 1 (- B) + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $- 1 (- B) + B + C$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

乘以 $- 1 (- B)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$7 = 1 B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $B$ 和 $B$ 相加。

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

解题步骤 3.2.3

使用 $- B$ 替换 $24 = A + C$ 中所有出现的 $A$ .

$24 = (- B) + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

去掉圆括号。

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

解题步骤 3.3

在 $24 = - B + C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- B + C = 24$ 。

$- B + C = 24$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $B$ 。

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $24 + B$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $24 + B$ 替换 $7 = 2 B + C$ 中所有出现的 $C$ .

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

解题步骤 3.4.2

化简 $7 = 2 B + 24 + B$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1.1

去掉圆括号。

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

解题步骤 3.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $2 B$ 和 $B$ 相加。

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

解题步骤 3.5

在 $7 = 3 B + 24$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $3 B + 24 = 7$ 。

$3 B + 24 = 7$

$C = 24 + B$

$A = - B$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去 $24$ 。

$3 B = 7 - 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

解题步骤 3.5.2.2

从 $7$ 中减去 $24$ 。

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

解题步骤 3.5.3

将 $3 B = - 17$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $3 B = - 17$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

解题步骤 3.6

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- \frac{17}{3}$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $- \frac{17}{3}$ 替换 $C = 24 + B$ 中所有出现的 $B$ .

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

解题步骤 3.6.2

化简 $C = 24 - \frac{17}{3}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.1.1

去掉圆括号。

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

解题步骤 3.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.2.1

化简 $24 - \frac{17}{3}$ 。

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解题步骤 3.6.2.2.1.1

要将 $24$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$C = 24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

解题步骤 3.6.2.2.1.2

组合 $24$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$C = \frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

解题步骤 3.6.2.2.1.3

在公分母上合并分子。

$C = \frac{24 \cdot 3 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

解题步骤 3.6.2.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 3.6.2.2.1.4.1

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$C = \frac{72 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

解题步骤 3.6.2.2.1.4.2

从 $72$ 中减去 $17$ 。

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

解题步骤 3.6.3

使用 $- \frac{17}{3}$ 替换 $A = - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (- \frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

解题步骤 3.6.4

化简右边。

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解题步骤 3.6.4.1

乘以 $- (- \frac{17}{3})$ 。

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解题步骤 3.6.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A = 1 (\frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

解题步骤 3.6.4.1.2

将 $\frac{17}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$A = \frac{17}{3}, C = \frac{55}{3}, B = - \frac{17}{3}$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17}{3 x} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

组合 $x$ 和 $\frac{17}{3}$ 。

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{x \cdot 17}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 5.2

将 $17$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17 x}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

初级微积分 示例

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