初级微积分示例

$\frac{(4 x^{2}) (2 x^{3})}{{(x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

去掉多余的括号。

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 x^{3}}{{(x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2

合并指数。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 x^{2} x^{3}}{{(x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{8 (x^{3} x^{2})}{{(x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 x^{3 + 2}}{{(x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 x^{5}}{{(x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A x + B}{{(x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{C x + D}{{(x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.4

$\frac{A x + B}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{C x + D}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{F x + G}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.5

$\frac{A x + B}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{C x + D}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{F x + G}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{H x + I}{x^{2}}$

解题步骤 1.6

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x^{2})}^{4}$ 。

$\frac{8 x^{5} {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{4}} = \frac{(A x + B) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{(C x + D) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.7

约去 ${(x^{2})}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1

约去公因数。

解题步骤 1.7.2

用 $8 x^{5}$ 除以 $1$ 。

$8 x^{5} = \frac{(A x + B) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{(C x + D) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1

约去 ${(x^{2})}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1.1

约去公因数。

$8 x^{5} = \frac{(A x + B) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{(C x + D) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.1.2

用 $A x + B$ 除以 $1$ 。

$8 x^{5} = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.2

约去 ${(x^{2})}^{4}$ 和 ${(x^{2})}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.2.1

从 $(C x + D) {(x^{2})}^{4}$ 中分解出因数 ${(x^{2})}^{3}$ 。

$8 x^{5} = A x + B + \frac{{(x^{2})}^{3} ((C x + D) x^{2})}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.8.2.2.1

乘以 $1$ 。

$8 x^{5} = A x + B + \frac{{(x^{2})}^{3} ((C x + D) x^{2})}{{(x^{2})}^{3} \cdot 1} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.2.2.2

约去公因数。

$8 x^{5} = A x + B + \frac{{(x^{2})}^{3} ((C x + D) x^{2})}{{(x^{2})}^{3} \cdot 1} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.2.2.3

重写表达式。

$8 x^{5} = A x + B + \frac{(C x + D) x^{2}}{1} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.2.2.4

用 $(C x + D) x^{2}$ 除以 $1$ 。

$8 x^{5} = A x + B + (C x + D) x^{2} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.3

运用分配律。

$8 x^{5} = A x + B + C x \cdot x^{2} + D x^{2} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.8.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C (x^{2} x) + D x^{2} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.8.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 x^{5} = A x + B + C (x^{2} x) + D x^{2} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{2 + 1} + D x^{2} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{4}}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.5

约去 ${(x^{2})}^{4}$ 和 ${(x^{2})}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.5.1

从 $(F x + G) {(x^{2})}^{4}$ 中分解出因数 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + \frac{{(x^{2})}^{2} ((F x + G) {(x^{2})}^{2})}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.8.5.2.1

乘以 $1$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + \frac{{(x^{2})}^{2} ((F x + G) {(x^{2})}^{2})}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.5.2.2

约去公因数。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + \frac{{(x^{2})}^{2} ((F x + G) {(x^{2})}^{2})}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.5.2.3

重写表达式。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + \frac{(F x + G) {(x^{2})}^{2}}{1} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.5.2.4

用 $(F x + G) {(x^{2})}^{2}$ 除以 $1$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + (F x + G) {(x^{2})}^{2} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.6

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.8.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + (F x + G) x^{2 \cdot 2} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + (F x + G) x^{4} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.7

运用分配律。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x \cdot x^{4} + G x^{4} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.8.8.1

移动 $x^{4}$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F (x^{4} x) + G x^{4} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.8.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.8.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F (x^{4} x) + G x^{4} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{4 + 1} + G x^{4} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.8.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + \frac{(H x + I) {(x^{2})}^{4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.9

将 ${(x^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.8.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + \frac{(H x + I) x^{2 \cdot 4}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.9.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + \frac{(H x + I) x^{8}}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.10

约去 $x^{8}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.10.1

从 $(H x + I) x^{8}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + \frac{x^{2} ((H x + I) x^{6})}{x^{2}}$

解题步骤 1.8.10.2

约去公因数。

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解题步骤 1.8.10.2.1

乘以 $1$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + \frac{x^{2} ((H x + I) x^{6})}{x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 1.8.10.2.2

约去公因数。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + \frac{x^{2} ((H x + I) x^{6})}{x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 1.8.10.2.3

重写表达式。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + \frac{(H x + I) x^{6}}{1}$

解题步骤 1.8.10.2.4

用 $(H x + I) x^{6}$ 除以 $1$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + (H x + I) x^{6}$

解题步骤 1.8.11

运用分配律。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + H x \cdot x^{6} + I x^{6}$

解题步骤 1.8.12

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 1.8.12.1

移动 $x^{6}$ 。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + H (x^{6} x) + I x^{6}$

解题步骤 1.8.12.2

将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.8.12.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + H (x^{6} x) + I x^{6}$

解题步骤 1.8.12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + H x^{6 + 1} + I x^{6}$

解题步骤 1.8.12.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + H x^{7} + I x^{6}$

解题步骤 1.9

化简表达式。

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解题步骤 1.9.1

将 $G$ 和 $x^{4}$ 重新排序。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + H x^{7} + I x^{6}$

解题步骤 1.9.2

将 $H$ 和 $x^{7}$ 重新排序。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + H x^{7} + I x^{6}$

解题步骤 1.9.3

将 $I$ 和 $x^{6}$ 重新排序。

$8 x^{5} = A x + B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + H x^{7} + I x^{6}$

解题步骤 1.9.4

移动 $B$ 。

$8 x^{5} = A x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + H x^{7} + I x^{6} + B$

解题步骤 1.9.5

移动 $A x$ 。

$8 x^{5} = C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + G x^{4} + H x^{7} + I x^{6} + A x + B$

解题步骤 1.9.6

移动 $D x^{2}$ 。

$8 x^{5} = C x^{3} + F x^{5} + G x^{4} + H x^{7} + I x^{6} + D x^{2} + A x + B$

解题步骤 1.9.7

移动 $C x^{3}$ 。

$8 x^{5} = F x^{5} + G x^{4} + H x^{7} + I x^{6} + C x^{3} + D x^{2} + A x + B$

解题步骤 1.9.8

移动 $G x^{4}$ 。

$8 x^{5} = F x^{5} + H x^{7} + I x^{6} + G x^{4} + C x^{3} + D x^{2} + A x + B$

解题步骤 1.9.9

移动 $F x^{5}$ 。

$8 x^{5} = H x^{7} + I x^{6} + F x^{5} + G x^{4} + C x^{3} + D x^{2} + A x + B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{7}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = H$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x^{6}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = I$

解题步骤 2.3

使方程两边 $x^{5}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$8 = F$

解题步骤 2.4

使方程两边 $x^{4}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = G$

解题步骤 2.5

使方程两边 $x^{3}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 2.6

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = D$

解题步骤 2.7

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A$

解题步骤 2.8

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = B$

解题步骤 2.9

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = H$

$0 = I$

$8 = F$

$0 = G$

$0 = C$

$0 = D$

$0 = A$

$0 = B$

$0 = H$

$0 = I$

$8 = F$

$0 = G$

$0 = C$

$0 = D$

$0 = A$

$0 = B$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $H = 0$ 。

$H = 0$

$0 = I$

$8 = F$

$0 = G$

$0 = C$

$0 = D$

$0 = A$

$0 = B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $H$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

将方程重写为 $I = 0$ 。

$I = 0$

$H = 0$

$8 = F$

$0 = G$

$0 = C$

$0 = D$

$0 = A$

$0 = B$

解题步骤 3.2.2

将方程重写为 $F = 8$ 。

$F = 8$

$I = 0$

$H = 0$

$0 = G$

$0 = C$

$0 = D$

$0 = A$

$0 = B$

解题步骤 3.2.3

将方程重写为 $G = 0$ 。

$G = 0$

$F = 8$

$I = 0$

$H = 0$

$0 = C$

$0 = D$

$0 = A$

$0 = B$

解题步骤 3.2.4

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$G = 0$

$F = 8$

$I = 0$

$H = 0$

$0 = D$

$0 = A$

$0 = B$

解题步骤 3.2.5

将方程重写为 $D = 0$ 。

$D = 0$

$C = 0$

$G = 0$

$F = 8$

$I = 0$

$H = 0$

$0 = A$

$0 = B$

解题步骤 3.2.6

将方程重写为 $A = 0$ 。

$A = 0$

$D = 0$

$C = 0$

$G = 0$

$F = 8$

$I = 0$

$H = 0$

$0 = B$

解题步骤 3.2.7

将方程重写为 $B = 0$ 。

$B = 0$

$A = 0$

$D = 0$

$C = 0$

$G = 0$

$F = 8$

$I = 0$

$H = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$D = 0$

$C = 0$

$G = 0$

$F = 8$

$I = 0$

$H = 0$

解题步骤 3.3

列出所有解。

$B = 0, A = 0, D = 0, C = 0, G = 0, F = 8, I = 0, H = 0$

解题步骤 4

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A x + B}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{C x + D}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{F x + G}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{H x + I}{x^{2}}$ with the values found for $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $F$ , $G$ , $H$ , and $I$ .

$\frac{0 x + 0}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{0 x + 0}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{8 x + 0}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $(0) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(0) \cdot x}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{(8) \cdot x + 0}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{(8) \cdot x + 0}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $(0) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{(0) \cdot x}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{(8) \cdot x + 0}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2}}$

解题步骤 5.4

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{0}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{(8) \cdot x + 0}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2}}$

解题步骤 5.5

将 $(8) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{0}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{8 x}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2}}$

解题步骤 5.6

将 $(0) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{0}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{8 x}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{(0) \cdot x}{x^{2}}$

解题步骤 5.7

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{0}{{(x^{2})}^{4}} + \frac{0}{{(x^{2})}^{3}} + \frac{8 x}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{0}{x^{2}}$

初级微积分 示例

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