初级微积分示例

$15 \sin (t) \cos (t) = - 6 \sin (t)$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $6 \sin (t)$ 。

$15 \sin (t) \cos (t) + 6 \sin (t) = 0$

解题步骤 2

从 $15 \sin (t) \cos (t) + 6 \sin (t)$ 中分解出因数 $3 \sin (t)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $15 \sin (t) \cos (t)$ 中分解出因数 $3 \sin (t)$ 。

$3 \sin (t) (5 \cos (t)) + 6 \sin (t) = 0$

解题步骤 2.2

从 $6 \sin (t)$ 中分解出因数 $3 \sin (t)$ 。

$3 \sin (t) (5 \cos (t)) + 3 \sin (t) \cdot 2 = 0$

解题步骤 2.3

从 $3 \sin (t) (5 \cos (t)) + 3 \sin (t) \cdot 2$ 中分解出因数 $3 \sin (t)$ 。

$3 \sin (t) (5 \cos (t) + 2) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (t) = 0$

$5 \cos (t) + 2 = 0$

解题步骤 4

将 $\sin (t)$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sin (t)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (t) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $t$ 的 $\sin (t) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$t = \arcsin (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 4.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$t = π - 0$

解题步骤 4.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$t = π$

解题步骤 4.2.5

求 $\sin (t)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.6

$\sin (t)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$t = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $5 \cos (t) + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 5.1

将 $5 \cos (t) + 2$ 设为等于 $0$ 。

$5 \cos (t) + 2 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $t$ 的 $5 \cos (t) + 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$5 \cos (t) = - 2$

解题步骤 5.2.2

将 $5 \cos (t) = - 2$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $5 \cos (t) = - 2$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{- 2}{5}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{- 2}{5}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\cos (t)$ 除以 $1$ 。

$\cos (t) = \frac{- 2}{5}$

解题步骤 5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (t) = - \frac{2}{5}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $t$ 。

$t = \arccos (- \frac{2}{5})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

计算 $\arccos (- \frac{2}{5})$ 。

$t = 1.98231317$

解题步骤 5.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$t = 2 (3.14159265) - 1.98231317$

解题步骤 5.2.6

求解 $t$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

去掉圆括号。

$t = 2 (3.14159265) - 1.98231317$

解题步骤 5.2.6.2

化简 $2 (3.14159265) - 1.98231317$ 。

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解题步骤 5.2.6.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$t = 6.2831853 - 1.98231317$

解题步骤 5.2.6.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $1.98231317$ 。

$t = 4.30087213$

解题步骤 5.2.7

求 $\cos (t)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8

$\cos (t)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$t = 1.98231317 + 2 π n, 4.30087213 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $3 \sin (t) (5 \cos (t) + 2) = 0$ 成立的所有值。

$t = 2 π n, π + 2 π n, 1.98231317 + 2 π n, 4.30087213 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$t = π n, 1.98231317 + 2 π n, 4.30087213 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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