初级微积分示例

$\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cos (\frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2

$\cos (\frac{7 π}{12})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将 $\frac{7 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\frac{1}{2} \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.3

由于余弦在第二象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.4.8

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.2.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.3

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 1.5

$\sin (\frac{7 π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

将 $\frac{7 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

解题步骤 1.5.2

使用正弦半角公式。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

解题步骤 1.5.3

因为正弦在第二象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

解题步骤 1.5.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

解题步骤 1.5.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 1.5.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 1.5.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 1.5.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 1.5.4.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 1.5.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.5.4.7

乘以 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.7.1

将 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.5.4.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

解题步骤 1.5.4.8

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 1.5.4.9

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 1.5.4.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

解题步骤 1.6

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.6.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.6.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

解题步骤 2.2

从 $- \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) + \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

解题步骤 2.3

从 $\sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})}{4}$

解题步骤 2.4

从 $- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})}{4}$

解题步骤 2.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $- (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})$ 重写为 $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})$ 。

$\frac{- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})}{4}$

解题步骤 2.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

小数形式：

$0.70710678 \dots$

初级微积分 示例

初级微积分示例