初级微积分示例

$\cos (105) + \cos (15)$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (105)$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \cos (75) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$- \cos (30 + 45) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.3

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.4

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.6

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.8

化简 $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 1.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.8.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.8.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + \cos (15)$

解题步骤 1.1.8.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (15)$

解题步骤 1.2

$\cos (15)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45 - 30)$

解题步骤 1.2.2

将被减数和减数分开。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45 - (30))$

解题步骤 1.2.3

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)$

解题步骤 1.2.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)$

解题步骤 1.2.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)$

解题步骤 1.2.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)$

解题步骤 1.2.7

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.8

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

解题步骤 1.2.8.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 2

在公分母上合并分子。

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3.2

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3.2.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

将 $- \sqrt{6}$ 和 $\sqrt{6}$ 相加。

$\frac{0 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.2

将 $0$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.3

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

小数形式：

$0.70710678 \dots$

初级微积分 示例

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