初级微积分示例

$\frac{\cot (2 x) - \tan (2 x)}{\sin (2 x) + \cos (2 x)}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 $\cot (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \tan (2 x)}{\sin (2 x) + \cos (2 x)}$

解题步骤 1.2

将 $\tan (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) + \cos (2 x)}$

解题步骤 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (2 x) \cos (2 x)$ .

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) + \cos (2 x)}$ 乘以 $\frac{\sin (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x) \cos (2 x)}$ 。

$\frac{\sin (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x) \cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) + \cos (2 x)}$

解题步骤 2.2

合并。

$\frac{\sin (2 x) \cos (2 x) (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) (\sin (2 x) + \cos (2 x))}$

解题步骤 3

运用分配律。

$\frac{\sin (2 x) \cos (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4

通过相约进行化简。

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解题步骤 4.1

约去 $\sin (2 x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $\sin (2 x) \cos (2 x)$ 中分解出因数 $\sin (2 x)$ 。

$\frac{\sin (2 x) (\cos (2 x)) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.1.2

约去公因数。

$\frac{\sin (2 x) \cos (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.1.3

重写表达式。

$\frac{\cos (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.2

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.3

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.6

约去 $\cos (2 x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

将 $- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \frac{- \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.6.2

从 $\sin (2 x) \cos (2 x)$ 中分解出因数 $\cos (2 x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) \frac{- \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.6.3

约去公因数。

$\frac{\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) \frac{- \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.6.4

重写表达式。

$\frac{\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.7

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (2 x) - (\sin^{1} (2 x) \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.8

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (2 x) - (\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1}}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 4.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (2 x)$ 和 $b = \sin (2 x)$ 。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 6

化简分母。

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解题步骤 6.1

乘以 $\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x)$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 6.1.2

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{{\sin (2 x)}^{1 + 1} \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 6.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

解题步骤 6.2

乘以 $\sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 6.2.1

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x))}$

解题步骤 6.2.2

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x))}$

解题步骤 6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) {\cos (2 x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos^{2} (2 x)}$

解题步骤 6.3

从 $\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos^{2} (2 x)$ 中分解出因数 $\sin (2 x) \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $\sin^{2} (2 x) \cos (2 x)$ 中分解出因数 $\sin (2 x) \cos (2 x)$ 。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) (\sin (2 x)) + \sin (2 x) \cos^{2} (2 x)}$

解题步骤 6.3.2

从 $\sin (2 x) \cos^{2} (2 x)$ 中分解出因数 $\sin (2 x) \cos (2 x)$ 。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) (\sin (2 x)) + \sin (2 x) \cos (2 x) (\cos (2 x))}$

解题步骤 6.3.3

从 $\sin (2 x) \cos (2 x) (\sin (2 x)) + \sin (2 x) \cos (2 x) (\cos (2 x))$ 中分解出因数 $\sin (2 x) \cos (2 x)$ 。

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) (\sin (2 x) + \cos (2 x))}$

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