初级微积分示例

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$

解题步骤 1

要将 $\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ 。

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} \cdot \frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ 。

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} \cdot \frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)} \cdot \frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ 乘以 $\frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ 。

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)} \cdot \frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ 乘以 $\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ 。

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))} + \frac{(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ 的因式。

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))} + \frac{(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ 。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \cos (y)) - \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.2

合并 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (x) - \cos (y) \cos (y)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.1

按照 $\cos (x) \cos (y)$ 和 $- \cos (y) \cos (x)$ 重新排列因数。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.2.2

从 $\cos (x) \cos (y)$ 中减去 $\cos (x) \cos (y)$ 。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 0 - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.2.3

将 $\cos (x) \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.3.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.3.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.3.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.3.2

乘以 $- \cos (y) \cos (y)$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) - (\cos^{1} (y) \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.3.2.2

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) - (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.3.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos^{2} (x) - {\cos (y)}^{1 + 1} + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.3.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.4

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))$ 。

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解题步骤 5.4.1

运用分配律。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) (\sin (x) + \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.4.2

运用分配律。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.4.3

运用分配律。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.5

合并 $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.5.1

按照 $\sin (x) \sin (y)$ 和 $- \sin (y) \sin (x)$ 重新排列因数。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.5.2

从 $\sin (x) \sin (y)$ 中减去 $\sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + 0 - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.5.3

将 $\sin (x) \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.6.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.6.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.6.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + {\sin (x)}^{1 + 1} - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.6.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.6.2

乘以 $- \sin (y) \sin (y)$ 。

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解题步骤 5.6.2.1

对 $\sin (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.6.2.2

对 $\sin (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - {\sin (y)}^{1 + 1}}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7

以因式分解的形式重写 $\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)$ 。

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解题步骤 5.7.1

重新组合项。

$\frac{- \cos^{2} (y) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.2

重新整理项。

$\frac{- \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.3

使用勾股恒等式。

$\frac{- \cos^{2} (y) + 1 - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.4

以因式分解的形式重写 $1 - \sin^{2} (y)$ 。

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解题步骤 5.7.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{- \cos^{2} (y) + 1^{2} - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sin (y)$ 。

$\frac{- \cos^{2} (y) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.5

从 $- \cos^{2} (y) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 5.7.5.1

从 $- \cos^{2} (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y)) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.5.2

从 $(1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y)) - ((- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.5.3

从 $- (\cos^{2} (y)) - ((- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) + (- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.6

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y))$ 。

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解题步骤 5.7.6.1

运用分配律。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1 - \sin (y)) - \sin (y) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.6.2

运用分配律。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.6.3

运用分配律。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.7.7.1

化简每一项。

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解题步骤 5.7.7.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7.1.2

乘以 $- 1 (- \sin (y))$ 。

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解题步骤 5.7.7.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + 1 \sin (y) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7.1.2.2

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7.1.4

乘以 $- \sin (y) (- \sin (y))$ 。

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解题步骤 5.7.7.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + 1 \sin (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7.1.4.2

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7.1.4.3

对 $\sin (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{1} (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7.1.4.4

对 $\sin (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{1} (y) \sin^{1} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + {\sin (y)}^{1 + 1})}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7.2

从 $\sin (y)$ 中减去 $\sin (y)$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + 0 + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.7.3

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.8

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1) + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.9

从 $\sin^{2} (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.10

从 $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (y))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1 - \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.11

将 $- 1 (1 - \sin^{2} (y))$ 重写为 $- (1 - \sin^{2} (y))$ 。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - (1 - \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.12

使用勾股恒等式。

$\frac{- (\cos^{2} (y) - \cos^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 5.7.13

从 $\cos^{2} (y)$ 中减去 $\cos^{2} (y)$ 。

$\frac{- 0}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 6

乘以零。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

解题步骤 6.2

用 $0$ 除以 $(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))$ 。

$0$

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