初级微积分示例

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} - 2 x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} - 2 (x) - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

解题步骤 1.1.1.2

把 $- 2$ 重写为 $4$ 加 $- 6$

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} + (4 - 6) x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{9 x + 2}{(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

解题步骤 1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{9 x + 2}{x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4)} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

解题步骤 1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 4$ 来因式分解多项式。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} + 1 x - 4}$

解题步骤 1.2.1.2

把 $1$ 重写为 $- 3$ 加 $4$

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} + (- 3 + 4) x - 4}$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} - 3 x + 4 x - 4}$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{(3 x^{2} - 3 x) + 4 x - 4}$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x (x - 1) + 4 (x - 1)}$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$ 乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)} + \frac{7 (x - 2)}{(x - 1) (3 x + 4) (x - 2)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)$ 的因式。

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)} + \frac{7 (x - 2)}{(x - 1) (3 x + 4) (x - 2)}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(x - 1) (3 x + 4) (x - 2)$ 的因式。

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)} + \frac{7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(9 x + 2) (x - 1) + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(9 x + 2) (x - 1)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{9 x (x - 1) + 2 (x - 1) + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{9 x \cdot x + 9 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{9 x \cdot x + 9 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{9 (x \cdot x) + 9 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{9 x^{2} + 9 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{9 x^{2} - 9 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{9 x^{2} - 9 x + 2 x - 2 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 9 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{9 x^{2} - 7 x - 2 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{9 x^{2} - 7 x - 2 + 7 x + 7 \cdot - 2}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.4

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{9 x^{2} - 7 x - 2 + 7 x - 14}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.5

将 $- 7 x$ 和 $7 x$ 相加。

$\frac{9 x^{2} + 0 - 2 - 14}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.6

将 $9 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{9 x^{2} - 2 - 14}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.7

从 $- 2$ 中减去 $14$ 。

$\frac{9 x^{2} - 16}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.8

以因式分解的形式重写 $9 x^{2} - 16$ 。

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解题步骤 6.8.1

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$\frac{{(3 x)}^{2} - 16}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.8.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{{(3 x)}^{2} - 4^{2}}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 6.8.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3 x$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{(3 x + 4) (3 x - 4)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 7

约去 $3 x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{(3 x + 4) (3 x - 4)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)}$

初级微积分 示例

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