初级微积分示例

$\frac{1 + \sin (- x)}{1 + \cos (- x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

因为 $\sin (- x)$ 是一个奇函数，所以将 $\sin (- x)$ 重写成 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (- x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

解题步骤 1.2

因为 $\cos (- x)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- x)$ 重写成 $\cos (x)$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \sin (- x)}{1 - \cos (- x)}$

解题步骤 1.3

化简分子。

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解题步骤 1.3.1

因为 $\sin (- x)$ 是一个奇函数，所以将 $\sin (- x)$ 重写成 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - - \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

解题步骤 1.3.2

乘以 $- - \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + 1 \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

解题步骤 1.3.2.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (- x)}$

解题步骤 1.4

因为 $\cos (- x)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- x)$ 重写成 $\cos (x)$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 。

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 的因式。

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sin (x)) (1 - \cos (x))$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{1 (1 - \cos (x)) - \sin (x) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) (1 - \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 1 (- \cos (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.2.2

将 $- \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \cos (x)) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.2.4

乘以 $- \sin (x) (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + (- 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 - \sin (x)) (1 + \cos (x))$ 。

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解题步骤 6.5.1

运用分配律。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 (1 + \cos (x)) - \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.5.2

运用分配律。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.5.3

运用分配律。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - 1 \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.6.2

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - \cos (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.7

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 - \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.8

从 $0$ 中减去 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \cos (x) - \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.9

从 $- \cos (x)$ 中减去 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) - \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.10

从 $- \sin (x)$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.11

从 $\sin (x) \cos (x)$ 中减去 $\sin (x) \cos (x)$ 。

$\frac{0 - 2 \cos (x) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.12

从 $0$ 中减去 $2 \cos (x)$ 。

$\frac{- 2 \cos (x) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.13

从 $- 2 \cos (x) - 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

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解题步骤 6.13.1

从 $- 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{- 2 (\cos (x)) - 2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.13.2

从 $- 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{- 2 (\cos (x)) - 2 (\sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 6.13.3

从 $- 2 (\cos (x)) - 2 (\sin (x))$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{- 2 (\cos (x) + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (\cos (x) + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

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