初级微积分示例

$\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}}}$

解题步骤 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3 y^{2} x^{2}$ .

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解题步骤 1.1

将 $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}}}$ 乘以 $\frac{3 y^{2} x^{2}}{3 y^{2} x^{2}}$ 。

$\frac{3 y^{2} x^{2}}{3 y^{2} x^{2}} \cdot \frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}}}$

解题步骤 1.2

合并。

$\frac{3 y^{2} x^{2} (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} (\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 2

运用分配律。

$\frac{3 y^{2} x^{2} \frac{x}{y} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $3 y^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3 y x^{2}) \frac{x}{y} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{y (3 y x^{2}) \frac{x}{y} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{3 y x^{2} x + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 y (x^{1} x^{2}) + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 y x^{1 + 2} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $- \frac{y}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} \frac{- y}{x}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.5.2

从 $3 y^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 y x^{3} + x (3 y^{2} x) \frac{- y}{x}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.5.3

约去公因数。

$\frac{3 y x^{3} + x (3 y^{2} x) \frac{- y}{x}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.5.4

重写表达式。

$\frac{3 y x^{3} + 3 y^{2} x (- y)}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 y x^{3} - 3 y^{2} x y}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.7

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 y x^{3} - 3 x (y^{2} y^{1})}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{2 + 1}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.9

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{3 y^{2} x^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.10

约去 $3 x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.10.1

从 $3 y^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $3 x^{2}$ 。

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{3 x^{2} (y^{2}) \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.10.2

约去公因数。

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{3 x^{2} y^{2} \frac{1}{3 x^{2}} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.10.3

重写表达式。

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} x^{2} (- \frac{1}{3 y^{2}})}$

解题步骤 3.11

约去 $3 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.11.1

将 $- \frac{1}{3 y^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} x^{2} \frac{- 1}{3 y^{2}}}$

解题步骤 3.11.2

从 $3 y^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $3 y^{2}$ 。

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} (x^{2}) \frac{- 1}{3 y^{2}}}$

解题步骤 3.11.3

约去公因数。

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + 3 y^{2} x^{2} \frac{- 1}{3 y^{2}}}$

解题步骤 3.11.4

重写表达式。

$\frac{3 y x^{3} - 3 x y^{3}}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

从 $3 y x^{3} - 3 x y^{3}$ 中分解出因数 $3 y x$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $3 y x^{3}$ 中分解出因数 $3 y x$ 。

$\frac{3 y x (x^{2}) - 3 x y^{3}}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 4.1.2

从 $- 3 x y^{3}$ 中分解出因数 $3 y x$ 。

$\frac{3 y x (x^{2}) + 3 y x (- y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 4.1.3

从 $3 y x (x^{2}) + 3 y x (- y^{2})$ 中分解出因数 $3 y x$ 。

$\frac{3 y x (x^{2} - y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = y$ 。

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - 1 \cdot x^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - x^{2}}$

解题步骤 5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = x$ 。

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{(y + x) (y - x)}$

解题步骤 6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.1

约去 $x + y$ 和 $y + x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

重新排序项。

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

$\frac{3 y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

解题步骤 6.1.3

重写表达式。

$\frac{3 y x (x - y)}{y - x}$

解题步骤 6.2

约去 $x - y$ 和 $y - x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 y x (- 1 (- x) - y)}{y - x}$

解题步骤 6.2.2

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 y x (- 1 (- x) - (y))}{y - x}$

解题步骤 6.2.3

从 $- 1 (- x) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 y x (- 1 (- x + y))}{y - x}$

解题步骤 6.2.4

重新排序项。

$\frac{3 y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

解题步骤 6.2.5

约去公因数。

$\frac{3 y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

解题步骤 6.2.6

用 $3 y x \cdot (- 1)$ 除以 $1$ 。

$3 y x \cdot (- 1)$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 y x$

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