初级微积分示例

$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

从 $x^{2} - 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x - 3 x}{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.2

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3}{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - 3)}{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - 3)}{x \cdot x^{2} - 4 x^{2} + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.2.1.2

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - 3)}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.2.1.3

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - 3)}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 3} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.2.1.4

从 $x \cdot x^{2} + x (- 4 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - 3)}{x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 3} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.2.1.5

从 $x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x - 3)}{x (x^{2} - 4 x + 3)} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.2.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $- 4$ 。

$- 3, - 1$

解题步骤 1.2.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x (x - 3)}{x ((x - 3) (x - 1))} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

$\frac{x (x - 3)}{x (x - 3) (x - 1)} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{x (x - 3)}{x (x - 3) (x - 1)} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{x - 3}{(x - 3) (x - 1)} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.4

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{x - 3}{(x - 3) (x - 1)} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.5

化简分母。

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解题步骤 1.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 1.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{1}{x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 1) (x + 1)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3.2

重新排序 $(x - 1) (x + 1)$ 的因式。

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{x + 1 + 2}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$

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