初级微积分示例

$\frac{1 - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2} - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.2

将 $\cos^{4} (x)$ 重写为 ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ 。

$\frac{1^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}}{1 + \cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos^{2} (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1^{2} - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \cos (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

解题步骤 2

约去 $1 + \cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.1

约去公因数。

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.2

用 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 除以 $1$ 。

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

解题步骤 4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

解题步骤 4.1.2

将 $- \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

解题步骤 4.1.3

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

解题步骤 4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 4.1.5

乘以 $- \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

解题步骤 4.1.5.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 4.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 4.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$

解题步骤 4.2

将 $- \cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$1 + 0 - \cos^{2} (x)$

解题步骤 4.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - \cos^{2} (x)$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\sin^{2} (x)$

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