初级微积分示例

$\frac{\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.2

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.3

移动 $- 1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.4

将 $\cos^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.6

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.7

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.8

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.9

使用勾股恒等式。

$\frac{- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.10

从 $- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 中分解出因数 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.10.1

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{2} (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.10.2

从 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 中分解出因数 $\sin^{2} (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.10.3

从 $\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 中分解出因数 $\sin^{2} (x)$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.11

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.12

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.13

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.14

将 $- 1^{2}$ 和 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 重新排序。

$\frac{\sin^{2} (x) ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1^{2})}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.15

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{1}{\cos (x)}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2

约去 $\sin^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.1

约去公因数。

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.2

用 $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ 除以 $1$ 。

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

乘以 $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.1.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.1.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.1.2

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.1.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.1.4

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1$

解题步骤 4.2

将 $- \frac{1}{\cos (x)}$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 相加。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 0 - 1$

解题步骤 4.3

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

解题步骤 5.3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sec^{2} (x) - 1$

解题步骤 6

使用勾股恒等式。

$\tan^{2} (x)$

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