初级微积分示例

$\sqrt{25 - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\sqrt{5^{2} - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = x$ 。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

解题步骤 1.3

化简分母。

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解题步骤 1.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{5^{2} - x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = x$ 。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ 。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

解题步骤 1.5

合并和化简分母。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ 。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

解题步骤 1.5.2

对 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

解题步骤 1.5.3

对 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1} {\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1}}$

解题步骤 1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}}$

解题步骤 1.5.6

将 ${\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}$ 重写为 $(5 + x) (5 - x)$ 。

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解题步骤 1.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 重写成 ${((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{({((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.5.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{1}}$

解题步骤 1.5.6.5

化简。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 2

要将 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$ 。

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

组合 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 和 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x))}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

从 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + \sqrt{(5 + x) (5 - x)} x^{2}}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.1.2

从 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + \sqrt{(5 + x) (5 - x)} x^{2}$ 中分解出因数 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(5 + x) (5 - x)$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 (5 - x) + x (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.3.1.3

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - x \cdot x + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 0 - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.3.3

将 $25$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.4

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 0)}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 4.5

将 $25$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \cdot 25}{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 5

将 $25$ 移到 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 的左侧。

$\frac{25 \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

初级微积分 示例

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