初级微积分示例

$2 \cos (\frac{π}{8}) - 1$

解题步骤 1

$\cos (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$2 \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) - 1$

解题步骤 1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) - 1$

解题步骤 1.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$2 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - 1$

解题步骤 1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

解题步骤 1.5

化简 $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 1.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

解题步骤 1.5.2

在公分母上合并分子。

$2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

解题步骤 1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} - 1$

解题步骤 1.5.4

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} - 1$

解题步骤 1.5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - 1$

解题步骤 1.5.5

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} - 1$

解题步骤 1.5.6

化简分母。

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解题步骤 1.5.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} - 1$

解题步骤 1.5.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

解题步骤 2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

解题步骤 2.2

重写表达式。

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

小数形式：

$0.84775906 \dots$

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