初级微积分示例

$4^{2 x} - 5 \cdot 4^{x + \frac{1}{2}} + 16 = 0$

解题步骤 1

将 $4^{x + \frac{1}{2}}$ 重写为 $4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}$ 。

$4^{2 x} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

解题步骤 2

将 $4^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

解题步骤 3

去掉圆括号。

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot 4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $4^{x}$ 。

$u^{2} - 5 \cdot u \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u^{2} - 5 u \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

解题步骤 5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

解题步骤 5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

解题步骤 5.4

计算指数。

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

解题步骤 5.5

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$u^{2} - 10 u + 16 = 0$

解题步骤 6

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - 10 u + 16$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $16$ ，和为 $- 10$ 。

$- 8, - 2$

解题步骤 6.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 8) (u - 2) = 0$

解题步骤 6.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 8 = 0$

$u - 2 = 0$

解题步骤 6.3

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 。

$u - 8 = 0$

解题步骤 6.3.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$u = 8$

解题步骤 6.4

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

解题步骤 6.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$u = 2$

解题步骤 6.5

最终解为使 $(u - 8) (u - 2) = 0$ 成立的所有值。

$u = 8, 2$

解题步骤 7

代入 $8$ 替换 $u = 4^{x}$ 中的 $u$ 。

$8 = 4^{x}$

解题步骤 8

求解 $8 = 4^{x}$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $4^{x} = 8$ 。

$4^{x} = 8$

解题步骤 8.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$2^{2 x} = 2^{3}$

解题步骤 8.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$2 x = 3$

解题步骤 8.4

将 $2 x = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 8.4.1

将 $2 x = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 8.4.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 8.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{2}$

解题步骤 9

代入 $2$ 替换 $u = 4^{x}$ 中的 $u$ 。

$2 = 4^{x}$

解题步骤 10

求解 $2 = 4^{x}$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $4^{x} = 2$ 。

$4^{x} = 2$

解题步骤 10.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$2^{2 x} = 2^{1}$

解题步骤 10.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$2 x = 1$

解题步骤 10.4

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 10.4.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 10.4.2

化简左边。

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解题步骤 10.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 10.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 11

列出使方程成立的解。

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

小数形式：

$x = 1.5, 0.5$

带分数形式：

$x = 1 \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

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