初级微积分示例

$7^{x^{2}} = 8^{9 - x}$

解题步骤 1

取方程两边的对数。

$\ln (7^{x^{2}}) = \ln (8^{9 - x})$

解题步骤 2

通过将 $x^{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (7^{x^{2}})$ 。

$x^{2} \ln (7) = \ln (8^{9 - x})$

解题步骤 3

通过将 $9 - x$ 移到对数外来展开 $\ln (8^{9 - x})$ 。

$x^{2} \ln (7) = (9 - x) \ln (8)$

解题步骤 4

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$x^{2} \ln (7) = 9 \ln (8) - x \ln (8)$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $x \ln (8)$ 。

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) = 9 \ln (8)$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $9 \ln (8)$ 。

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) - 9 \ln (8) = 0$

解题步骤 4.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.5

将 $a = \ln (7)$ 、 $b = \ln (8)$ 和 $c = - 9 \ln (8)$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln^{2} (8) - 4 \cdot (\ln (7) \cdot (- 9 \ln (8)))}}{2 \ln (7)}$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

从 $\ln^{2} (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ 中分解出因数 $\ln (8)$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

从 $\ln^{2} (8)$ 中分解出因数 $\ln (8)$ 。

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot (- 9 \ln (8))}}{2 \ln (7)}$

解题步骤 4.6.1.2

从 $- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ 中分解出因数 $\ln (8)$ 。

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

解题步骤 4.6.1.3

从 $\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)$ 中分解出因数 $\ln (8)$ 。

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

解题步骤 4.6.2

将 $- 9$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

解题步骤 4.7

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

小数形式：

$x = 2.61260549 \dots, - 3.68122705 \dots$

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