初级微积分示例

$e^{2 x} + 7 e^{x} - 3 = 0$

解题步骤 1

将 $e^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(e^{x})}^{2} + 7 e^{x} - 3 = 0$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$u^{2} + 7 u - 3 = 0$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.2

将 $a = 1$ 、 $b = 7$ 和 $c = - 3$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $49$ 和 $12$ 相加。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2}$

解题步骤 3.4

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

解题步骤 4

代入 $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

解题步骤 5

求解 $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ 。

$e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$

解题步骤 5.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

解题步骤 5.3

展开左边。

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解题步骤 5.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

解题步骤 5.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

解题步骤 5.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

解题步骤 6

代入 $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

解题步骤 7

求解 $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ 。

$e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

解题步骤 7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$

解题步骤 7.3

因为 $\ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 7.4

$e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ 无解

无解

解题步骤 8

列出使方程成立的解。

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

小数形式：

$x = - 0.90356001 \dots$

初级微积分 示例

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