初级微积分示例

$\cot^{2} (x) - \cot (x) = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \cot (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cot (x)$ 。

$u^{2} - u = 0$

解题步骤 1.2

从 $u^{2} - u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u - u = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $- u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $u \cdot u + u \cdot - 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (u - 1) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\cot (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cot (x) (\cot (x) - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot (x) = 0$

$\cot (x) - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $\cot (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\cot (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (0)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.4

化简 $π + \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 3.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.4.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 3.2.4.3.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.2.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\cot (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cot (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\cot (x) = 1$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (1)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

$arccot (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.4

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.5

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 4.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 4.2.5.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 4.2.6

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.7

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $\cot (x) (\cot (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

合并答案。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{π}{2} + π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.2

将 $\frac{π}{4} + π n$ 和 $\frac{5 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{π}{4} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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