初级微积分示例

$\cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $\frac{1}{4}$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

解题步骤 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 3

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 3.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

解题步骤 5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6

在 $\cos (x) = \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 6.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.4

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 6.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.4.2

合并分数。

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解题步骤 6.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 6.4.3

化简分子。

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解题步骤 6.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 6.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 6.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

在 $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.4

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 7.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.4.2

合并分数。

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解题步骤 7.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 7.4.3

化简分子。

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解题步骤 7.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 7.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并解集。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{π}{3} + 2 π n$ 和 $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.2

将 $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ 和 $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ 合并为 $\frac{2 π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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