初级微积分示例

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

解题步骤 1

将 $e^{4 x}$ 重写为乘方形式。

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

解题步骤 2

将 $e^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

解题步骤 4

求解 $u$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

解题步骤 4.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1

将 $u^{4}$ 重写为 ${(u^{2})}^{2}$ 。

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

解题步骤 4.2.2

使 $u = u^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $u^{2}$ 。

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

解题步骤 4.2.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 6 u - 16$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.2.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 16$ ，和为 $- 6$ 。

$- 8, 2$

解题步骤 4.2.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 8) (u + 2) = 0$

解题步骤 4.2.4

使用 $u^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

解题步骤 4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

解题步骤 4.4

将 $u^{2} - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $u^{2} - 8$ 设为等于 $0$ 。

$u^{2} - 8 = 0$

解题步骤 4.4.2

求解 $u$ 的 $u^{2} - 8 = 0$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$u^{2} = 8$

解题步骤 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

解题步骤 4.4.2.3

化简 $\pm \sqrt{8}$ 。

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解题步骤 4.4.2.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.4.2.3.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

解题步骤 4.4.2.3.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.3.2

从根式下提出各项。

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4.4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$u = 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4.4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$u = - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4.4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4.5

将 $u^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $u^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 。

$u^{2} + 2 = 0$

解题步骤 4.5.2

求解 $u$ 的 $u^{2} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$u^{2} = - 2$

解题步骤 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

解题步骤 4.5.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 2}$ 。

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解题步骤 4.5.2.3.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

解题步骤 4.5.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (2)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 。

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 4.5.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 4.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$u = i \sqrt{2}$

解题步骤 4.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$u = - i \sqrt{2}$

解题步骤 4.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 4.6

最终解为使 $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ 成立的所有值。

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 5

代入 $2 \sqrt{2}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

解题步骤 6

求解 $2 \sqrt{2} = e^{x}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ 。

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

解题步骤 6.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

解题步骤 6.3

展开左边。

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解题步骤 6.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

解题步骤 6.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

解题步骤 6.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

解题步骤 7

代入 $- 2 \sqrt{2}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

解题步骤 8

求解 $- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ 。

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 8.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

解题步骤 8.3

因为 $\ln (- 2 \sqrt{2})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 8.4

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ 无解

无解

解题步骤 9

代入 $i \sqrt{2}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$i \sqrt{2} = e^{x}$

解题步骤 10

求解 $i \sqrt{2} = e^{x}$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $e^{x} = i \sqrt{2}$ 。

$e^{x} = i \sqrt{2}$

解题步骤 10.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

解题步骤 10.3

展开左边。

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解题步骤 10.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

解题步骤 10.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

解题步骤 10.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (i \sqrt{2})$

解题步骤 10.4

展开右边。

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解题步骤 10.4.1

将 $\ln (i \sqrt{2})$ 重写为 $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ 。

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

解题步骤 10.4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.4.3

通过将 $\frac{1}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ 。

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

解题步骤 10.4.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (2)$ 。

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

解题步骤 10.5

化简。

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解题步骤 10.5.1

化简每一项。

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解题步骤 10.5.1.1

将 $\frac{\ln (2)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (2)$ 。

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

解题步骤 10.5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (2)$ 。

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.5.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 11

代入 $- i \sqrt{2}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

解题步骤 12

求解 $- i \sqrt{2} = e^{x}$ 。

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解题步骤 12.1

将方程重写为 $e^{x} = - i \sqrt{2}$ 。

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

解题步骤 12.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

解题步骤 12.3

因为 $\ln (- i \sqrt{2})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 12.4

$e^{x} = - i \sqrt{2}$ 无解

无解

解题步骤 13

列出使方程成立的解。

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

初级微积分 示例

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