初级微积分示例

$e^{x} (8 - e^{x}) = 16$

解题步骤 1

化简 $e^{x} (8 - e^{x})$ 。

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解题步骤 1.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$e^{x} \cdot 8 + e^{x} (- e^{x}) = 16$

解题步骤 1.1.2

重新排序。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $8$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$8 \cdot e^{x} + e^{x} (- e^{x}) = 16$

解题步骤 1.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$8 \cdot e^{x} - e^{x} e^{x} = 16$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 1.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$8 e^{x} - (e^{x} e^{x}) = 16$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 e^{x} - e^{x + x} = 16$

解题步骤 1.2.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$8 e^{x} - e^{2 x} = 16$

解题步骤 2

将 $e^{2 x}$ 重写为乘方形式。

$8 e^{x} - {(e^{x})}^{2} = 16$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$8 u - u^{2} = 16$

解题步骤 4

将 $8 u$ 和 $- u^{2}$ 重新排序。

$- u^{2} + 8 u = 16$

解题步骤 5

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$- u^{2} + 8 u - 16 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $- u^{2} + 8 u - 16$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2}) + 8 u - 16 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $8 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 16 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $- (u^{2}) - (- 8 u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $- (u^{2} - 8 u) - 1 (16)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

解题步骤 5.2.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

解题步骤 5.2.2.3

重写多项式。

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 4$ 。

$- {(u - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 5.3

将 $- {(u - 4)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- {(u - 4)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- {(u - 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{{(u - 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2

用 ${(u - 4)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(u - 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

${(u - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 5.4

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

解题步骤 5.5

在等式两边都加上 $4$ 。

$u = 4$

解题步骤 6

代入 $4$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$4 = e^{x}$

解题步骤 7

求解 $4 = e^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $e^{x} = 4$ 。

$e^{x} = 4$

解题步骤 7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

解题步骤 7.3

展开左边。

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解题步骤 7.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (4)$

解题步骤 7.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (4)$

解题步骤 7.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (4)$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \ln (4)$

小数形式：

$x = 1.38629436 \dots$

初级微积分 示例

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