初级微积分示例

$\sin^{2} (3 x) - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 1

化简等式左边。

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解题步骤 1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sin (3 x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$(\sin (3 x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.2

使用正弦三倍角公式。

$(- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.3

将 $3 \sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.4

使用正弦三倍角公式。

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.5

从 $3 \sin (x)$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.6

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.6.3

运用分配律。

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{3} (x) \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.2

通过指数相加将 $\sin^{3} (x)$ 乘以 $\sin^{3} (x)$ 。

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解题步骤 1.7.1.2.1

移动 $\sin^{3} (x)$ 。

$- 4 \cdot (- 4 (\sin^{3} (x) \sin^{3} (x))) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 \cdot (- 4 {\sin (x)}^{3 + 3}) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{6} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.4

通过指数相加将 $\sin^{3} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 1.7.1.4.1

移动 $\sin (x)$ 。

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{3} (x)$ 。

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解题步骤 1.7.1.4.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 \sin^{6} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 3} \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.4.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{4} (x) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.5

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.6

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{3} (x)$ 。

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解题步骤 1.7.1.6.1

移动 $\sin^{3} (x)$ 。

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.6.2

将 $\sin^{3} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 1.7.1.6.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 {\sin (x)}^{3 + 1} \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.7

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.8

乘以 $4 \sin (x) (2 \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.7.1.8.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin (x) \sin (x) = 0$

解题步骤 1.7.1.8.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.8.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

解题步骤 1.7.1.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 {\sin (x)}^{1 + 1} = 0$

解题步骤 1.7.1.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 1.7.2

从 $- 8 \sin^{4} (x)$ 中减去 $16 \sin^{4} (x)$ 。

$16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2

对 $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

从 $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $8 \sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $16 \sin^{6} (x)$ 中分解出因数 $8 \sin^{2} (x)$ 。

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 24 \sin^{4} (x)$ 中分解出因数 $8 \sin^{2} (x)$ 。

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $8 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $8 \sin^{2} (x)$ 。

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.1.4

从 $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $8 \sin^{2} (x)$ 。

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.1.5

从 $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $8 \sin^{2} (x)$ 。

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2

将 $\sin^{4} (x)$ 重写为 ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ 。

$8 \sin^{2} (x) (2 {(\sin^{2} (x))}^{2} - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.3

使 $u = \sin^{2} (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sin^{2} (x)$ 。

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

解题步骤 2.4

分组因式分解。

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解题步骤 2.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ 并且它们的和为 $b = - 3$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

从 $- 3 u$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

解题步骤 2.4.1.2

把 $- 3$ 重写为 $- 1$ 加 $- 2$

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

解题步骤 2.4.1.3

运用分配律。

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

解题步骤 2.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$8 \sin^{2} (x) ((2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1) = 0$

解题步骤 2.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$8 \sin^{2} (x) (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

解题步骤 2.4.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$8 \sin^{2} (x) ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

解题步骤 2.5

使用 $\sin^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

解题步骤 2.7

因数。

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解题步骤 2.7.1

因数。

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解题步骤 2.7.1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sin (x)$ 和 $b = 1$ 。

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1))) = 0$

解题步骤 2.7.1.2

去掉多余的括号。

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.7.2

去掉多余的括号。

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin^{2} (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 4

将 $\sin^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sin^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\sin^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sin (x) = \pm 0$

解题步骤 4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 4.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 4.2.6

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 4.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $2 \sin^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $2 \sin^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \sin^{2} (x) = 1$

解题步骤 5.2.2

将 $2 \sin^{2} (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $2 \sin^{2} (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 5.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.5

计算指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.7

在 $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.7.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4

化简 $π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.7.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.7.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.7.4.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.7.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.7.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.8

在 $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.8.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.8.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 5.2.8.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.8.4.1

从 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 5.2.8.4.2

得出的角 $\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 5.2.8.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.8.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

解题步骤 5.2.8.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.8.6.3

合并分数。

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解题步骤 5.2.8.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.8.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 5.2.8.6.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.8.6.4.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 5.2.8.6.4.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 5.2.8.6.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 5.2.8.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.9

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.10

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 6.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.2.5.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 6.2.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.2.6

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.7

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.2.7.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 6.2.7.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.7.3

合并分数。

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解题步骤 6.2.7.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 6.2.7.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.7.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 6.2.7.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.2.7.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $\sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\sin (x) = 1$

解题步骤 7.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.5

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 7.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 7.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.5.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 7.2.5.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.6

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.2.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

最终解为使 $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

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解题步骤 9.1

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.2

将 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.3

将 $π n$ 和 $\frac{π}{2} + π n$ 合并为 $\frac{π n}{2}$ 。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.4

合并答案。

$x = \frac{π n}{4}$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

初级微积分示例