初级微积分示例

$\sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 4 = 0$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

${(u)}^{2} - 8 u - 4 = 0$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 1$ 、 $b = - 8$ 和 $c = - 4$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3

将 $64$ 和 $16$ 相加。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4

将 $80$ 重写为 $4^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $80$ 中分解出因数 $16$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4.3

化简 $\frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ 。

$u = 4 \pm 2 \sqrt{5}$

解题步骤 5

最终答案为两个解的组合。

$u = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

解题步骤 6

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

解题步骤 7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$

解题步骤 8

在 $\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将等式的右边转换为等值的小数形式。

$\sin (x) = 8.47213595$

解题步骤 8.2

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $8.47213595$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 9

在 $\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

将等式的右边转换为等值的小数形式。

$\sin (x) = - 0.47213595$

解题步骤 9.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 0.47213595)$

解题步骤 9.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.1

计算 $\arcsin (- 0.47213595)$ 。

$x = - 0.49171223$

解题步骤 9.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$

解题步骤 9.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 9.5.1

从 $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 9.5.2

得出的角 $3.63330488$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ 共边。

$x = 3.63330488$

解题步骤 9.6

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 9.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 9.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 9.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 9.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 9.7

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 9.7.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.49171223$ 以求正角。

$- 0.49171223 + 2 π$

解题步骤 9.7.2

从 $2 π$ 中减去 $0.49171223$ 。

$5.79147307$

解题步骤 9.7.3

列出新角。

$x = 5.79147307$

解题步骤 9.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

列出所有解。

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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