初级微积分示例

$\sin^{2} (x) - 5 \cos (x) + 5 = 0$

解题步骤 1

使用 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$(1 - \cos^{2} (x)) - 5 \cos (x) + 5 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$6 - \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.1

重新排序项。

$- \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) + 6 = 0$

解题步骤 2.2.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $- 5 \cos (x)$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$- \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) + 6 = 0$

解题步骤 2.2.2.2

把 $- 5$ 重写为 $1$ 加 $- 6$

$- \cos^{2} (x) + (1 - 6) \cos (x) + 6 = 0$

解题步骤 2.2.2.3

运用分配律。

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 6 \cos (x) + 6 = 0$

解题步骤 2.2.2.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 6 \cos (x) + 6 = 0$

解题步骤 2.2.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 6 \cos (x) + 6 = 0$

解题步骤 2.2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) + 6 (- \cos (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.4

通过因式分解出最大公因数 $- \cos (x) + 1$ 来因式分解多项式。

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 6) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 6 = 0$

解题步骤 2.4

将 $- \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $- \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $- \cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \cos (x) = - 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $- \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2.2.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 2.4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 2.4.2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.4.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.4.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 2.4.2.6

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 2.4.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.4.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5

将 $\cos (x) + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $\cos (x) + 6$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) + 6 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) + 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$\cos (x) = - 6$

解题步骤 2.5.2.2

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- 6$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 2.6

最终解为使 $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

合并答案。

$x = 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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