初级微积分示例

$\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = 10 x - 22$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1}}^{2} = {(10 x - 22)}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(10 x - 22)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(10 x - 22)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(10 x - 22)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{1} = {(10 x - 22)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = {(10 x - 22)}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(10 x - 22)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(10 x - 22)}^{2}$ 重写为 $(10 x - 22) (10 x - 22)$ 。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = (10 x - 22) (10 x - 22)$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(10 x - 22) (10 x - 22)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 x (10 x - 22) - 22 (10 x - 22)$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 x (10 x) + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x - 22)$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 x (10 x) + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 \cdot 10 x \cdot x + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 \cdot 10 (x \cdot x) + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 \cdot 10 x^{2} + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

将 $- 22$ 乘以 $10$ 。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 220 x - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

解题步骤 2.3.1.3.1.5

将 $10$ 乘以 $- 22$ 。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 220 x - 220 x - 22 \cdot - 22$

解题步骤 2.3.1.3.1.6

将 $- 22$ 乘以 $- 22$ 。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 220 x - 220 x + 484$

解题步骤 2.3.1.3.2

从 $- 220 x$ 中减去 $220 x$ 。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 440 x + 484$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $100 x^{2}$ 。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 - 100 x^{2} = - 440 x + 484$

解题步骤 3.1.2

在等式两边都加上 $440 x$ 。

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 - 100 x^{2} + 440 x = 484$

解题步骤 3.1.3

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $100 x^{2}$ 。

$x^{4} - 102 x^{2} + 1 + 440 x = 484$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $484$ 。

$x^{4} - 102 x^{2} + 1 + 440 x - 484 = 0$

解题步骤 3.3

从 $1$ 中减去 $484$ 。

$x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483 = 0$

解题步骤 3.4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.4.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 483, \pm 3, \pm 161, \pm 7, \pm 69, \pm 21, \pm 23$

$q = \pm 1$

解题步骤 3.4.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 483, \pm 3, \pm 161, \pm 7, \pm 69, \pm 21, \pm 23$

解题步骤 3.4.1.3

代入 $3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $3$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.4.1.3.1

将 $3$ 代入多项式。

$3^{4} - 102 \cdot 3^{2} + 440 \cdot 3 - 483$

解题步骤 3.4.1.3.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$81 - 102 \cdot 3^{2} + 440 \cdot 3 - 483$

解题步骤 3.4.1.3.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$81 - 102 \cdot 9 + 440 \cdot 3 - 483$

解题步骤 3.4.1.3.4

将 $- 102$ 乘以 $9$ 。

$81 - 918 + 440 \cdot 3 - 483$

解题步骤 3.4.1.3.5

从 $81$ 中减去 $918$ 。

$- 837 + 440 \cdot 3 - 483$

解题步骤 3.4.1.3.6

将 $440$ 乘以 $3$ 。

$- 837 + 1320 - 483$

解题步骤 3.4.1.3.7

将 $- 837$ 和 $1320$ 相加。

$483 - 483$

解题步骤 3.4.1.3.8

从 $483$ 中减去 $483$ 。

$0$

解题步骤 3.4.1.4

因为 $3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483}{x - 3}$

解题步骤 3.4.1.5

用 $x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483$ 除以 $x - 3$ 。

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解题步骤 3.4.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

解题步骤 3.4.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

解题步骤 3.4.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

解题步骤 3.4.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} - 3 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

解题步骤 3.4.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

解题步骤 3.4.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

解题步骤 3.4.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

解题步骤 3.4.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

解题步骤 3.4.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{3} - 9 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

解题步骤 3.4.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

解题步骤 3.4.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

解题步骤 3.4.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 93 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

解题步骤 3.4.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

解题步骤 3.4.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 93 x^{2} + 279 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

解题步骤 3.4.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

解题步骤 3.4.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

解题步骤 3.4.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $161 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

解题步骤 3.4.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

$161 x$

$483$

解题步骤 3.4.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $161 x - 483$ 中的所有符号

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

$161 x$

$483$

解题步骤 3.4.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

$161 x$

$483$

$0$

解题步骤 3.4.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$

解题步骤 3.4.1.6

将 $x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483$ 书写为因数的集合。

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161) = 0$

解题步骤 3.4.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 161, \pm 7, \pm 23$

$q = \pm 1$

解题步骤 3.4.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 161, \pm 7, \pm 23$

解题步骤 3.4.2.1.3

代入 $7$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $7$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.4.2.1.3.1

将 $7$ 代入多项式。

$7^{3} + 3 \cdot 7^{2} - 93 \cdot 7 + 161$

解题步骤 3.4.2.1.3.2

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$343 + 3 \cdot 7^{2} - 93 \cdot 7 + 161$

解题步骤 3.4.2.1.3.3

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$343 + 3 \cdot 49 - 93 \cdot 7 + 161$

解题步骤 3.4.2.1.3.4

将 $3$ 乘以 $49$ 。

$343 + 147 - 93 \cdot 7 + 161$

解题步骤 3.4.2.1.3.5

将 $343$ 和 $147$ 相加。

$490 - 93 \cdot 7 + 161$

解题步骤 3.4.2.1.3.6

将 $- 93$ 乘以 $7$ 。

$490 - 651 + 161$

解题步骤 3.4.2.1.3.7

从 $490$ 中减去 $651$ 。

$- 161 + 161$

解题步骤 3.4.2.1.3.8

将 $- 161$ 和 $161$ 相加。

$0$

解题步骤 3.4.2.1.4

因为 $7$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 7$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161}{x - 7}$

解题步骤 3.4.2.1.5

用 $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ 除以 $x - 7$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$7$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

解题步骤 3.4.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$

解题步骤 3.4.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			+	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 7 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$

解题步骤 3.4.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$

解题步骤 3.4.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$70 x$

解题步骤 3.4.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 x^{2} - 70 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$

解题步骤 3.4.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$

解题步骤 3.4.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$

解题步骤 3.4.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 23 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$

解题步骤 3.4.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$
							-	$23 x$	+	$161$

解题步骤 3.4.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 23 x + 161$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$
							+	$23 x$	-	$161$

解题步骤 3.4.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$
							+	$23 x$	-	$161$
										$0$

解题步骤 3.4.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 10 x - 23$

解题步骤 3.4.2.1.6

将 $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ 书写为因数的集合。

$(x - 3) ((x - 7) (x^{2} + 10 x - 23)) = 0$

解题步骤 3.4.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 3) (x - 7) (x^{2} + 10 x - 23) = 0$

解题步骤 3.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x - 7 = 0$

$x^{2} + 10 x - 23 = 0$

解题步骤 3.6

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 3.7

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

解题步骤 3.7.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 3.8

将 $x^{2} + 10 x - 23$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $x^{2} + 10 x - 23$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 10 x - 23 = 0$

解题步骤 3.8.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 10 x - 23 = 0$ 。

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解题步骤 3.8.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.8.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 10$ 和 $c = - 23$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 23)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2.3

化简。

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解题步骤 3.8.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.8.2.3.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 23$ 。

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解题步骤 3.8.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 23$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 92}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.3

将 $100$ 和 $92$ 相加。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.4

将 $192$ 重写为 $8^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.8.2.3.1.4.1

从 $192$ 中分解出因数 $64$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.4.2

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 10 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 10 \pm 8 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.8.2.3.3

化简 $\frac{- 10 \pm 8 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 5 \pm 4 \sqrt{3}$

解题步骤 3.8.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - 5 + 4 \sqrt{3}, - 5 - 4 \sqrt{3}$

解题步骤 3.9

最终解为使 $(x - 3) (x - 7) (x^{2} + 10 x - 23) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, 7, - 5 + 4 \sqrt{3}, - 5 - 4 \sqrt{3}$

解题步骤 4

排除不能使 $\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = 10 x - 22$ 成立的解。

$x = 3, 7$

初级微积分 示例

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