初级微积分示例

$\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) - 1 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$

解题步骤 2

将 $\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$ 中的每一项除以 $\sqrt{3}$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$ 中的每一项都除以 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9})}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $\sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9})}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $\tan (x - \frac{π}{9})$ 除以 $1$ 。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 2.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 2.3.2.6.5

计算指数。

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x - \frac{π}{9} = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x - \frac{π}{9} = \frac{π}{6}$

解题步骤 5

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{9}$ 。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π}{9}$

解题步骤 5.2

要将 $\frac{π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9}$

解题步骤 5.3

要将 $\frac{π}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $18$ 的形式。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.4.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.4.3

将 $\frac{π}{9}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{9 \cdot 2}$

解题步骤 5.4.4

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{18}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 2}{18}$

解题步骤 5.6

化简分子。

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解题步骤 5.6.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π + π \cdot 2}{18}$

解题步骤 5.6.2

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{18}$

解题步骤 5.6.3

将 $3 π$ 和 $2 π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{18}$

解题步骤 6

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x - \frac{π}{9} = π + \frac{π}{6}$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

化简 $π + \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 7.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x - \frac{π}{9} = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 7.1.2

合并分数。

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解题步骤 7.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x - \frac{π}{9} = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 7.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x - \frac{π}{9} = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

解题步骤 7.1.3

化简分子。

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解题步骤 7.1.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x - \frac{π}{9} = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

解题步骤 7.1.3.2

将 $6 π$ 和 $π$ 相加。

$x - \frac{π}{9} = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 7.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{9}$ 。

$x = \frac{7 π}{6} + \frac{π}{9}$

解题步骤 7.2.2

要将 $\frac{7 π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9}$

解题步骤 7.2.3

要将 $\frac{π}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $18$ 的形式。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $\frac{7 π}{6}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{7 π \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.2.4.3

将 $\frac{π}{9}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{9 \cdot 2}$

解题步骤 7.2.4.4

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{18}$

解题步骤 7.2.5

在公分母上合并分子。

$x = \frac{7 π \cdot 3 + π \cdot 2}{18}$

解题步骤 7.2.6

化简分子。

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解题步骤 7.2.6.1

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{21 π + π \cdot 2}{18}$

解题步骤 7.2.6.2

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{21 π + 2 \cdot π}{18}$

解题步骤 7.2.6.3

将 $21 π$ 和 $2 π$ 相加。

$x = \frac{23 π}{18}$

解题步骤 8

求 $\tan (x - \frac{π}{9})$ 的周期。

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解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 8.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 9

$\tan (x - \frac{π}{9})$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{18} + π n, \frac{23 π}{18} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

合并答案。

$x = \frac{5 π}{18} + π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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