初级微积分示例

$\sec^{2} (x) - 8 \sec (x) = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \sec (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sec (x)$ 。

$u^{2} - 8 u = 0$

解题步骤 1.2

从 $u^{2} - 8 u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u - 8 u = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $- 8 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u + u \cdot - 8 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $u \cdot u + u \cdot - 8$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (u - 8) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec (x) (\sec (x) - 8) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

$\sec (x) - 8 = 0$

解题步骤 3

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

解题步骤 3.2

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 4

将 $\sec (x) - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sec (x) - 8$ 设为等于 $0$ 。

$\sec (x) - 8 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\sec (x) - 8 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$\sec (x) = 8$

解题步骤 4.2.2

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (8)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

计算 $arcsec (8)$ 。

$x = 1.44546849$

解题步骤 4.2.4

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

解题步骤 4.2.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

解题步骤 4.2.5.2

化简 $2 (3.14159265) - 1.44546849$ 。

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解题步骤 4.2.5.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 1.44546849$

解题步骤 4.2.5.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $1.44546849$ 。

$x = 4.83771681$

解题步骤 4.2.6

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.7

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.44546849 + 2 π n, 4.83771681 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $\sec (x) (\sec (x) - 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1.44546849 + 2 π n, 4.83771681 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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