初级微积分示例

$\sec^{2} (x) + 6 \tan (x) + 4 = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $1 + \tan^{2} (x)$ 替换 $\sec^{2} (x)$ 。

$(1 + \tan^{2} (x)) + 6 \tan (x) + 4 = 0$

解题步骤 2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\tan^{2} (x) + 6 \tan (x) + 5 = 0$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $\tan (x)$ 。

${(u)}^{2} + 6 (u) + 5 = 0$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $u^{2} + 6 u + 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $6$ 。

$1, 5$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 1) (u + 5) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

$u + 5 = 0$

解题步骤 6

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 7

将 $u + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 7.1

将 $u + 5$ 设为等于 $0$ 。

$u + 5 = 0$

解题步骤 7.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$u = - 5$

解题步骤 8

最终解为使 $(u + 1) (u + 5) = 0$ 成立的所有值。

$u = - 1, - 5$

解题步骤 9

代入 $\tan (x)$ 替换 $u$ 。

$\tan (x) = - 1, - 5$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = - 1$

$\tan (x) = - 5$

解题步骤 11

在 $\tan (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 11.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 11.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 11.4.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 11.4.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 11.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 11.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 11.6.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 11.6.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 11.6.3

合并分数。

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解题步骤 11.6.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 11.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 11.6.4

化简分子。

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解题步骤 11.6.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 11.6.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 11.6.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 11.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

在 $\tan (x) = - 5$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 5)$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\arctan (- 5)$ 。

$x = - 1.37340076$

解题步骤 12.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - 1.37340076 - (3.14159265)$

解题步骤 12.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 12.4.1

将 $2 π$ 加上 $- 1.37340076 - (3.14159265)$ 。

$x = - 1.37340076 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 12.4.2

得出的角 $1.76819188$ 是正角度且与 $- 1.37340076 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 1.76819188$

解题步骤 12.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 12.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 12.6.1

将 $π$ 加到 $- 1.37340076$ 以求正角。

$- 1.37340076 + π$

解题步骤 12.6.2

使用小数的近似值替换。

$3.14159265 - 1.37340076$

解题步骤 12.6.3

从 $3.14159265$ 中减去 $1.37340076$ 。

$1.76819188$

解题步骤 12.6.4

列出新角。

$x = 1.76819188$

解题步骤 12.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

列出所有解。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

合并解集。

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解题步骤 14.1

将 $\frac{3 π}{4} + π n$ 和 $\frac{3 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{3 π}{4} + π n$ 。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14.2

将 $1.76819188 + π n$ 和 $1.76819188 + π n$ 合并为 $1.76819188 + π n$ 。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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