初级微积分示例

$\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$

解题步骤 1

使用对数的定义将 $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$x^{- \frac{4}{5}} = 256$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将方程两边同时进行 $- \frac{5}{4}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2

化简指数。

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解题步骤 2.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.1

化简 ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

将 ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{- \frac{4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.1.2.1

将 $- \frac{4}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$x^{\frac{- 4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.2.2

将 $- \frac{5}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$x^{\frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.2.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$x^{\frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.2.4

约去公因数。

$x^{\frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.2.5

重写表达式。

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot - 5} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.1.3.1

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 1))} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.3.2

约去公因数。

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.3.3

重写表达式。

$x^{- - 1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2.1.1.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2.1.1.2

化简。

$x = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 2.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简 $\pm 256^{- \frac{5}{4}}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \pm \frac{1}{256^{\frac{5}{4}}}$

解题步骤 2.2.2.1.2

化简分母。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

将 $256$ 重写为 $4^{4}$ 。

$x = \pm \frac{1}{{(4^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

解题步骤 2.2.2.1.2.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.2.3.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

解题步骤 2.2.2.1.2.3.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{1}{4^{5}}$

解题步骤 2.2.2.1.2.4

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$x = \pm \frac{1}{1024}$

解题步骤 2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{1}{1024}$

解题步骤 2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{1}{1024}$

解题步骤 2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{1}{1024}, - \frac{1}{1024}$

解题步骤 3

排除不能使 $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ 成立的解。

$x = \frac{1}{1024}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{1}{1024}$

小数形式：

$x = 0.00097656 \dots$

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