初级微积分示例

$\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$

解题步骤 1

使用对数的定义将 $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.2

将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母。使其等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积。

$1 \cdot 4 = x^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将方程重写为 $x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$ 。

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$

解题步骤 2.3.2

将含有 $x$ 的项移到左边并化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{2}{3}} = 1 \cdot 4$

解题步骤 2.3.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

解题步骤 2.3.3

将方程两边同时进行 $\frac{3}{2}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2.3.4

化简指数。

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解题步骤 2.3.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.4.1.1

化简 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1.1

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2.3.4.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2.3.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2.3.4.1.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.1.1.1.3.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2.3.4.1.1.1.3.2

重写表达式。

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2.3.4.1.1.2

化简。

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.4.2.1

化简 $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.4.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.2.1.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2.3.4.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 2.3.4.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.1.2.1

约去公因数。

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 2.3.4.2.1.2.2

重写表达式。

$x = \pm 2^{3}$

解题步骤 2.3.4.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = \pm 8$

解题步骤 2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 8$

解题步骤 2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 8$

解题步骤 2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 8, - 8$

解题步骤 3

排除不能使 $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ 成立的解。

$x = 8$

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