初级微积分示例

$\log_{2} (x - 4) + \log_{2} (x - 6) = 3$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{2} ((x - 4) (x - 6)) = 3$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 6)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\log_{2} (x (x - 6) - 4 (x - 6)) = 3$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 4 (x - 6)) = 3$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 4 x - 4 \cdot - 6) = 3$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot - 6 - 4 x - 4 \cdot - 6) = 3$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log_{2} (x^{2} - 6 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 6) = 3$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$\log_{2} (x^{2} - 6 x - 4 x + 24) = 3$

解题步骤 1.3.2

从 $- 6 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\log_{2} (x^{2} - 10 x + 24) = 3$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log_{2} (x^{2} - 10 x + 24) = 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$2^{3} = x^{2} - 10 x + 24$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x^{2} - 10 x + 24 = 2^{3}$ 。

$x^{2} - 10 x + 24 = 2^{3}$

解题步骤 3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{2} - 10 x + 24 = 8$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x^{2} - 10 x + 24 - 8 = 0$

解题步骤 3.4

从 $24$ 中减去 $8$ 。

$x^{2} - 10 x + 16 = 0$

解题步骤 3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 10 x + 16$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $16$ ，和为 $- 10$ 。

$- 8, - 2$

解题步骤 3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 8) (x - 2) = 0$

解题步骤 3.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.7

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

解题步骤 3.7.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$x = 8$

解题步骤 3.8

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.8.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.9

最终解为使 $(x - 8) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 8, 2$

解题步骤 4

排除不能使 $\log_{2} (x - 4) + \log_{2} (x - 6) = 3$ 成立的解。

$x = 8$

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