初级微积分示例

$\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log_{2} (x - 6) + \log_{2} (2 x) = 5$

解题步骤 2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{2} ((x - 6) (2 x)) = 5$

解题步骤 3

运用分配律。

$\log_{2} (x (2 x) - 6 (2 x)) = 5$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\log_{2} (2 x \cdot x - 6 (2 x)) = 5$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\log_{2} (2 x \cdot x - 12 x) = 5$

解题步骤 5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1

移动 $x$ 。

$\log_{2} (2 (x \cdot x) - 12 x) = 5$

解题步骤 5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$

解题步骤 6

使用对数的定义将 $\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$2^{5} = 2 x^{2} - 12 x$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$ 。

$2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$

解题步骤 7.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$2 x^{2} - 12 x = 32$

解题步骤 7.3

从等式两边同时减去 $32$ 。

$2 x^{2} - 12 x - 32 = 0$

解题步骤 7.4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.4.1

从 $2 x^{2} - 12 x - 32$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 7.4.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{2}) - 12 x - 32 = 0$

解题步骤 7.4.1.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 32 = 0$

解题步骤 7.4.1.3

从 $- 32$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

解题步骤 7.4.1.4

从 $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

解题步骤 7.4.1.5

从 $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{2} - 6 x - 16) = 0$

解题步骤 7.4.2

因数。

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解题步骤 7.4.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x - 16$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.4.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 16$ ，和为 $- 6$ 。

$- 8, 2$

解题步骤 7.4.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$2 ((x - 8) (x + 2)) = 0$

解题步骤 7.4.2.2

去掉多余的括号。

$2 (x - 8) (x + 2) = 0$

解题步骤 7.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 7.6

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.6.1

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

解题步骤 7.6.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$x = 8$

解题步骤 7.7

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.7.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 7.7.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 7.8

最终解为使 $2 (x - 8) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 8, - 2$

解题步骤 8

排除不能使 $\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$ 成立的解。

$x = 8$

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