初级微积分示例

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简 $\log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 1.1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x + 1))$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x) + x \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x)$

解题步骤 1.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

移动 $x$ 。

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 (x \cdot x) + x)$

解题步骤 1.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x^{2} + x)$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$5 x = 2 x^{2} + x$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$2 x^{2} + x = 5 x$

解题步骤 3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $5 x$ 。

$2 x^{2} + x - 5 x = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $x$ 中减去 $5 x$ 。

$2 x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 3.3

从 $2 x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 3.3.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x) - 4 x = 0$

解题步骤 3.3.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x) + 2 x (- 2) = 0$

解题步骤 3.3.3

从 $2 x (x) + 2 x (- 2)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x - 2) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.5

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.6

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.7

最终解为使 $2 x (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

解题步骤 4

排除不能使 $\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ 成立的解。

$x = 2$

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