初级微积分示例

$\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3}) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

解题步骤 1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x - 3)) = 0$

解题步骤 1.3

将 $\frac{x}{2 x + 3}$ 乘以 $2 x - 3$ 。

$\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$

解题步骤 2

利用对数的定义将 $\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$5^{0} = \frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}$

解题步骤 3

交叉相乘以去掉分数。

$x (2 x - 3) = 5^{0} (2 x + 3)$

解题步骤 4

化简 $5^{0} (2 x + 3)$ 。

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解题步骤 4.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x (2 x - 3) = 1 (2 x + 3)$

解题步骤 4.2

将 $2 x + 3$ 乘以 $1$ 。

$x (2 x - 3) = 2 x + 3$

解题步骤 5

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$x (2 x - 3) - 2 x = 3$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

解题步骤 5.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

解题步骤 5.2.3

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 x = 3$

解题步骤 5.2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 x = 3$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x = 3$

$2 x^{2} - 3 x - 2 x = 3$

解题步骤 5.3

从 $- 3 x$ 中减去 $2 x$ 。

$2 x^{2} - 5 x = 3$

解题步骤 6

从 $2 x^{2} - 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x) - 5 x = 3$

解题步骤 6.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

解题步骤 6.3

从 $x (2 x) + x \cdot - 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x - 5) = 3$

解题步骤 7

化简 $x (2 x - 5)$ 。

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解题步骤 7.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

解题步骤 7.1.2

重新排序。

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解题步骤 7.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 = 3$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 5$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x \cdot x - 5 \cdot x = 3$

解题步骤 7.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x) - 5 \cdot x = 3$

解题步骤 7.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - 5 \cdot x = 3$

$2 x^{2} - 5 x = 3$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

解题步骤 9

分组因式分解。

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解题步骤 9.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

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解题步骤 9.1.1

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

解题步骤 9.1.2

把 $- 5$ 重写为 $1$ 加 $- 6$

$2 x^{2} + (1 - 6) x - 3 = 0$

解题步骤 9.1.3

运用分配律。

$2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3 = 0$

解题步骤 9.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + x - 6 x - 3 = 0$

解题步骤 9.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 9.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 x^{2} + x) - 6 x - 3 = 0$

解题步骤 9.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1) = 0$

解题步骤 9.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$(2 x + 1) (x - 3) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 11

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

解题步骤 11.2

求解 $x$ 的 $2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x = - 1$

解题步骤 11.2.2

将 $2 x = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $2 x = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 11.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 11.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 11.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 11.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 11.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 12

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 13

最终解为使 $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{2}, 3$

解题步骤 14

排除不能使 $\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$ 成立的解。

$x = 3$

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